例4，2^3^4^(x+7)^5^6^7^…^2022除以2023余1，求xn=？

(a+b+c)^n＝(一元区)a^n+b^n+c^n+ (二元区)n!/(n-1)!/1![a^(n-1)(b+c)+b^(n-1)(a+c)+c^(n-1)(a+b)]+ n!/(n-2)!/1!(a^(n-2)b^2+a^(n-2)c^2+b^(n-2)c^2)+....+n!/(n/2)!/1 + (三元区) n!/(n-2)!/1!/1![a^(n-2)bc+ab^(n-2)c+abc^(n-2)]+n!/(n-3)!/2!/1![a^(n-3)(b^2c+bc^2)+b^(n-3)(a^2c+ac^2)+c^(n-3)(a^2b+ab^2)]+.…+n!/(n/3)!/(n/3)!/(n/3) ＆n!/((n+2)/3)!/

e和π的关系 e^(πi)+1=0 ((-e)^(1/n)*n-n)=πi+1， ((-e^2)^(1/n)*n-n)=πi+2， ... ((-e^m)^(1/n)*n-n)=πi+m， n→∞，m→∞

伪素数判定法之迭代法: 求指数m: 首先求a^(b-1)|b=m1，将m1代入a^(b-1+m1)|b=m2，…， A类死循环法，当出现a^(b-1+m1+m2+…+mn)|b=mn时，则mn为m。 例:3^(76+25+47+60n)|77=60，→3^60|77=1，→3^30|77=1，30为最小指数 B类循环节法: B1当出现a^(b-1+m1)|b=m2，a^(b-1+m2)|b=m1时，则(m1+m2)/2^t=m，t是使公式成立的值 B2当出现a^(b-1-m1)|b=m2，a^(b-1-m2)|b=m1时，则(m1+m2)/2^t=m，t是使公式成立的值 例2，2^(220+(16+152)/8-1)/221，m=(16+152)/2=168，即2^(168)|221=1， 2^(220-1-8-76-60-8)/221=76，→(76+60+8)/2=144/2=72，即2^(72)|2

迭代循环节法

如果P^2|2^n=1，n取最大值，那么n-2就是2^1~2^(P-1)内循环节个数，(费马数除外) 例1，173^2|2^3=1，→g=n-2=1，在2^1~2^172内仅有一个循环节 例2，199^2|2^4=1，→g=n-2=2，在2^1~2^198内仅有两个循环节，2^1~2^99，2^100~2^198。【图片】

左质数，凡P^2|16=1的质数为左质数，性质:a^((P-1)/2)|P=0， 如7，17，23，31，41，47，… 右质数，凡P^2|16≠1的质数为右质数，性质:有且只有a^(P-1)|P=0。 如，2，3，5，11，13，19，… 如果P^2|2^n=1，则有a^[(P-1)/2^(n-4)]|P=1，且(P-1)/2^(n-4)∈Z 若P=2^n+1时，有a^[(P-1)/2^(n-5)]|P=1，n≥5 例1，由于257^2|2^9=1，→2^(256/2^4)|257=1，(257=2^8+1) 例2，由于17^2|2^5=1，→2^(16/2^1)|17=1，(17=2^4+1) 例3，由于431^2|2^5=1，→2^(430/2^1)|430=1 例4，由于123457^2|2^7=1，→2^(123456/2^3)|123457=1，

(11^1000*11^728+1729^10-1)/11/1729 = 17675523081726157092047834818556612906929342153385845682928807564662695641226446603709248538813501579413714944293272429151871652261154745500393619354624089757196620394410106180153989522471162001243449343382088637820420953722800350896084113164446759906656426508768476260842965002300611043738863977488260770254044939497991629925398506034484558923666790707996701149181564417384757474910089987298026399565658238818006396783532364132840171491813112206330225809222988706984710347520324294508625117151308790869653818552854042892510467101928765006936702323647675065285799

已知三项式(a+b+c)^143，求第1580及第1581的糸数？ 解:根据题义可得: 求(143)3^1580＆1581＝？解:CN3＝143^2/12-1/12＝1704。 Nb＝(N+1)/2＝72，∑CNb2＝1296， 由于q3＝1580＆1581＞∑Cnb2，在第二区间，根据偶数公式得 q3-∑(nb+W)2+W(W+1)＝Z∞-，W＝＿l-(2-nb)/3+/-2(1+nb^2-nb-3q3或-3/4)^0.5/3l＿＝11(舍10)。(取Wmin) 有 1580＆1581-∑C(83)2+11*12＝-10＆+9＝Z∞-， q2＝C(nb+W)2+Z∞-＝C(83)2-10＆-9＝31＆32，N2＝nb+W＝83，S3＝N3-N2＝143-83＝60，Q2^q2＝［52，31］＆[51，32]，Q3^q3＝［60，52，31］＆[60，51，32]。

鸡兔同笼 鸡兔同笼，数头50只，数脚128只，求鸡兔各几只？ 解:依题义设鸡为x只，兔为y只，有2x+4y=128，→x+2y=64，由于b|c=0，根据尧驰特殊公式得: xn=b+bt=2+2t，&(k-ab)/a-bt=62-2t； yn=(k-ab)/b-at=(64-2)/2-t=31-t；&a+at=1+t， 有2+2t+31-t=50，t=17，即x=36，y=14 &1+t+62-2t=50，t=13，即x=36，y=14。 验:4*14+2*36=128正确。

1＞ X1:X2:X3:X4:...:Xn＝a1:a2:a3:a4:...:an X1X2X3X4...Xn＝a 求:X1，X2，X3，X4，...Xn 2＞ X1:X2:X3:X4:...:Xn＝a1:a2:a3:a4:...:an X1

构造质数 24位质数:3223802185639011132549803

分解费马小定理之余数定理 判断76851232147是否为质数？ 解:2^76851232148=(2^76)^1011200423=(75557863725914323419136^2)^505600211*75557863725914323419136 令75557863725914323419136=m1，有: 75557863725914323419136^2/76851232147…17151978434 17151978434^505600211=(17151978434^58)^8717245 *17151978434 令17151978434=m2，有 17151978434^58/76851232147…12580604222， 12580604222^8717245 =(12580604222^12)^726437*12580604222 令12580604222=m3，有: 12580604222^12/76851232147…50036570537 50036570537^726437=(50036570537^135)^5381*50036570537^2 令50036570537^2=m4，有: 500365

特大发现， 孪生质数判定式: 若P1与P2为孪生质数且P2﹥P1，有判定公式:((P1^P2+P2^P1-2)/P1-2)/P2=Z 例，(71^73+73^71-2)/71-2)/73=267853318193801728783139450952046121612769732511321931695663111305594315725831609749588286940644083371735485011821895713955434057168。 所以71与73是孪生质数。 例(89^91+91^88-2)89=27893093009932670262547408235761139260933928381280349266307569068593492674945522256943905756980439166319032193288623902787004210850234897886478870958892219848069809856843960082， 而((89^91+91^88-2)/89-2)/91=39847275728475243232210583193944484658477040544686

求aX^2+1=y^2的最小解及次小解 a=2=(1+1/3+1/13+1/253+1/218201+...))^2.Σ[(2)^0.5]2=1+1/2=3/2.或=1+1/3+1/12=17/12，终止。 或2=(2-1/2-1/12-1/408-1/470832-…)^2，Σ[(2)^0.5]2&3=2-1/2&2-1/2-1/12=3/2&17/12。 &2-1/2-1/12-1/408=577/408，或2-1/2-1/12-1/408-1/470832=665857/470832，无限。 xn=1/2[(2*2^0.5+3*1^0.5)^n+(2*2^0.5-3*1^0.5)^n]/(2)^0.5 =2/12/70/408/2378/13860/... yn=1/2[(2*2^0.5+3*1^0.5)^n-(2*2^0.5-3*1^0.5)^n]/(1)^0.5 =3/17/99/577/3363/19601... a=3=(1+1/2+1/5+1/32+1/1249+1/5986000 +…))^2， Σ[(3)^0.5]1=(1+1/(2-1)=2/1 Σ[(3)^0.5]2=1+1/2+1/(5-1)=7/4， Σ[(

已知数列: 15 ，39， 55， 63 ，63， 55， 39 ，15。 求an及sn？

例题1＞已知数列an，最大值为961，共有项数n＝61，求最小值及和值。 解:∵(n+1)/2＝31，即第31项为最大项，或有N(61+1)-N^2＝961，解得N＝31， 最小值为1*（62)-1＝61即为项数n， 和值为61^3/6+61^2/2+61/3＝39711

x5+1=0的五根为e^(±πi/5)，e^(±3πi/5)，e^(πi)。

《民工》 夏汗如雨饮如牛，冬寒手足冻似球。蓬头简食陋卧居，此楼虽竣为钱愁！

2^(P-2)/P+P/2-1/2/P=Z，即 (2^P-2)/P=Z-2P=Z即费马小定理，它有反例，最小奇伪素数341，561，……。第一偶伪数数是161038。 3^(P-2)/P+P/3-1/3/P=Z，它有反例，最小奇伪素数91，那么最小偶伪数数是多少？

求作图形 a1=a2+ks1，且a2⊥a1，垂足为ks1， a2=a3+ks1，且a3⊥a2，垂足为ks1， a3=a4+ks1，且a4⊥a3，垂足为ks1， …… an=a(n+1)+ks1，且an⊥a(n+1)，垂足为ks1，

sinx=x，arcsinx=x，求x=？，x=π/∞

x^3+px+q=0 简式判别式为 27q^2／(－p^3)+4＞0，有单实根 27q^2／(－p^3)+4≤0，有三实根

设一个平铺基本面有n个自相似点，那么n不为质数。

直线与曲线同胚

10^m/9999....9^2是有理数吗? m=9的个数*2-1，

由自然数数列构成的小数 1000/9801

(1+1/10^30)^10^30=1，(1+1/10^10)^10^10 =e ？？

我们现行长度单位米，他的可视度为0.1毫米，因为低于0.1毫米，人的眼睛看不到或看不清了。0.1毫米相当头发丝粗细，我们规定0.1毫米宽0.1毫米长的方点为可视点，没人反对吧， 理想点为D=0.1mm的圆 最短线段为0.2*0.1mm^2 最短弧约为0.3*0.1mm^2(弧点非方点，是扇点，近似梯形，下底约为0.1mm，上底小于0.1mm，高为0.1mm)

N个点最多构成N(N+1)/2个线段

((1/n*2^m1-a1)n=n1 ((1/n1*2^m2-a2)n1=n2 ((1/n2*2^m3-a3)n2=n3 .... ((1/n(j-1)*2^mj-aj)nj=1 m为使1/n上岸的最小正整数值，a为上岸最小正整数值，n为正整数值。

设A为非完全平方数，A^0.5=a+a1，a是整数部分，a1是小数部分，有(2+a1)a1=z

凡a-2^n≠P，a=P

特大发现:数论之质数 P1^2+P2^2-P1P2=P3，(5除外)。 例: 3^2+7^2-21=37， 223^2+3^2-223*3=49069， 123457^2+199^2-123457*199=15217102507

为什么∑1/(2n-1)=∞，∑1/(2n)=∞， 而∑1/(2n-1)-∑1/(2n)=0.69319819 ....

(1+(2+(3+…+(n-1+n^0.5)^0.5)…)^0.5=1.7579327513756...

构造数学大厦基石 1〉圆点的定义:通过次维圆两侧的所有弧长为直径长的实心圆图形为圆点 2〉方点:通过次维正方形任意一条垂直或水平的线段可以覆盖其身的实心图形为方点 3> 两个相连的方点可以组成最短线段 两个相连圆点可以组不成最短线段 两个不相连圆点可以组成最短虚线段

在我们生话的世界上有四种物质: 1＞正物质(W+Z+)，即可观可摸到的物质。如土，水，石，金属等等。 2＞负物质(W-Z+，即不可观可感到的物质，如负电，负磁场等等 3＞负反物质(W+Z-，即不可观可感到的物质，如正电，正磁场，等等 4＞反物质(W-Z-)，即不可观也不可感到的物质，如黑洞，反粒子等等 其中正物质与负物质相遇有时消现象(燃烧，发热等)正物质与反物质相遇有瞬消现象(爆炸)，负物质与负反物质相遇有时消和爆炸现象。

李氏猜想: (N-∑N)/9=Z+ ∑N为位数之和 如(12-1-2)/9=1，(13-1-3)/9=1，(101-1-1)/9=11，(12345-1-2-3-4-5)/9=1360，…

我推定:球体是由一般三角点，等腰三角点及正三角点组成。

线段作为一种存在(暂不考虑其作为测度的功能)，其必为由有限可视点但成！

意识作为超能量有其独特性，它可以像一般能量一样可转化，传递守恒，也可以控制一般能量的转化传递。

为什么燃烧分暗火和明火，暗火是指在物能转化过程中放出的时子量少于光子量的情况。 〖证明:一张纸用明火5秒着完，用暗火得3分钟，有时会出现自熄·［发出的时子量不能支撑光子发射的最低量］〗 明火是指在物能转化过程中放出的时子量大于光子量的情况，有时会发生爆燃〖在物能转化过程中放出的时子量大大于光子量的情况〗

已知:两个封闭的环A和B，有两个交叉点m，n，其单闭合路径种类有6种 问:三个封闭的A，B，C，且A与B环有两个交叉点m，n，B与C环有两个交叉点p，q。其单闭合路径种类有几种？

一元一指方程组 X^(3m+2)＝A X^(4m+1)＝B 解:X^3m＝A/X^2，X^4m＝B/X X^m＝(B/X)/(A/X^2)＝BX/A 有B^3X^3/A^3·X^2＝A，X＝(A^4/B^3)^(1/5)，m＝lgX/(BX/A) B^4X^4/A^4＝B/X，X^5B^3＝A^4，X^5＝A^4/B^3，同上 例1＞ X^(3m+2)＝2， X^(4m+1)＝3 解得 X＝(2^4/3^3)^0.2＝0.90024002568， m＝lgX/(BX/A)＝lg0·90024002568／(3*0·90024002568／2)＝-2.87480661606496 小结: 一般式及一般根式解 X^(ay+b)＝e X^(cy+d)＝f，解得 X^ay＝e/X^b (1) X^cy＝f/X^d (2) X^[(a-c)y]＝(e/f)·X^(d-b) (X^y)^(a-c)＝(e/f)·X^(d-b) X^y＝[(e／f)X^(d-b)]^[1/(a-c)] 代入(1)式有 (X^y)

假如从地球到冥王星距离为2000万公里，坐飞船以每小时1000公里，应该用2万小时可以达到，但由于失时度，也许得用3万小时才能到达 假如从地球到金星距离为200万公里，坐飞船以每小时1000公里，应该用2000小时可以达到，但由于加时度，也许得用1000小时就到达了

意识作为超能量有其独特性，它可以像一般能量一样可转化，传递守恒，也可以控制一般能量的转化传递。

《童心》 学童习获奖，背包回露佯！ 叟问书即失，充闻故展迟。

纯数学的点有四大性质 1＞不可分割性。当规定了可视度后，点作为最小单位量将不能再分了。 2＞不定形性。作为图形的最小组成部分，它可为组成各种图形提供各种自相似点。 如为矩形提供自相似的方形点［正方形点］;为圆提供扇形点及一个圆心点;为三角形提供自相似的三角形点;... 3＞砌合性。点与点之不存在缝隙，平铺之可以铺满所需图形。 4＞离散性。任何点与点之间都是离散的，并非连续的。