试题1. 假定数量有限的男孩和女孩若干，一组喜欢交际的男孩是指这样一组男孩，即每个女孩认识该组中至少1个男孩；而一组爱交际的女孩是指这样一组女孩，即每个男孩认识该组中至少1个女孩。请证明：爱交际男孩的组数和爱交际女孩的组数具有相同的奇偶性。（假设相识是相互的）。
试题2. 假定有一个非等腰三角形ABC，D、E、F分别表示边BC, CA, 和 AB的中点。圆BCF和线段BE在P点再次相交，圆ABE和线段AD在Q点再次相交，最后，线段DP和FQ在R点相交。请证明三角形ABC的重心G位于圆PQR上。
试题3. 将每个正整数用红色或蓝色标示，
定义函数f： N＋→N＋,具有以下两个性质：
1．如果 x ≤ y, 那么 f(x) ≤ f(y);
2．如果x, y 和z是相同颜色的（不一定是不同的）正整数，且x + y = z, 那么f(x)+ f(y)= f(z)。
请证明：存在一个正数a，使对于所有的正整数x, 有f(x) ≤ax。