我不知道你们现在高中要求是什么啊。。反正我上高中关于不动点或是特征方程我们老师只顺带提过的而已。。看了手芯发的帖子才有所了解的。。。关于第一种1.分式线性递推式
正如上面所说的方程x=（ax+b）/（cx+d）的根为数列的不动点，而这个方程不叫做这种数列的特征方程。。特征方程是相对于线性常差分方程提出的。。是第2种。。下面从数列吧挖几个不动点的例子来。。。


x1=1, X(n+1)=(2Xn+1)/(Xn+1)求Xn （这个就是分式递推式数列）

直接把他的答案拿过来。。这个因为是两个相异的不动点所以构造等比级数

例2.X（n+1）=（3Xn-1）/（Xn+1），X1=2，求Xn
这个不动点就一个的情形。。。那么就去构造等差数列。。。不妨练练

感觉这些东西真心没意思。。。都是机械性在那整。。。下面看第二种
线性常系数递推数列，其实他就是由线性差系数微分方程演变来的（PS你们在高数上册会看到常微分方程那一节会有一个类型的叫线性常微分方程）。。
而关于线性常差分方程，你首先要明白几个概念。。1.什么是线性？我查了一下说是均匀性和可加性，我还是没明白。。据我所知其实就是递推项之间只能进行加减运算不能有乘除平方等等。。而且递推项前面只能有常系数。2.什么是差分方程的阶？就是最大的下角标跟最小的下角标的差值。比如a（n+1）+a（n-2）=0，这就是三阶的。。3.什么是齐次、非齐次？当我们把递推项划到方程的一边，看方程的另一边，如果是0那就是齐次，不是0就是非齐次。。比如裴波拉契数列a（n+2）-a（n+1）-a（n）=0他就是二阶齐次的。比如这个数列a（n）+a(n+1)=3n+2,他就是一阶非齐次的。。弄清概念下面看几个例子。。其实就是贴吧里面的一些题。。

先看一个简单的例子1.a（n+1）=pa（n）+q（p、q为不等于0的常数，a1已知）
首先看他是一阶线性非齐次的，因为他阶低，我们用初等的迭代或者构造都能轻松解出。我们用：1初等构造：a（n+1）+x=p（a（n）+x）（PS这个方程不叫做特征方程）然后跟a（n+1）=pa（n）+q比对系数得到x=q/（p-1）.。这样我们构造出{a（n）+q/（p-1）}这个等比级数。。后面就好办了
2.利用特征方程（时域经典解法）我们把方程的全解分成：齐次部分的通解+非齐次部分的特解
齐次部分是这个方程a（n+1）-pa（n）=0，然后得到他的特征方程x-p=0（这个才叫做特征方程），然后特解的形式要根据非齐次部分来设，因为他非齐次是q，所以特解设为B，带进去就OK了

下面一个具体的例子：已知an，an+1是方程x平方-（3n+2)x+bn=0的两根，若a1=1,求证：数列a2n及a2n-1成等差数列，并求bn。。是我们贴吧里面的题大家看看
解：a(n)+a（n+1)=3n+2属于一阶非齐次。。和上面区别于他的非齐次部分3n+2不再是常数了。。我看了手的帖子这种还可以构造只是感觉不太好。。。我们用特征方程解：特征根-1，齐次解为C（-1）^n，特解部分根据强迫项3n+2设为D1n+D2,带进去得到D1=1.5，D2=0.25，特解就是1.5n+0.25，所以通解就是an=C（-1）^n+1.5n+0.25。。把初值a1=1带进去求出C=0.75，所以
an=0.75（-1）^n+1.5n+0.25。。。。。。。。。a2n=3n+1，a2n-1=3n-2.。都是等差数列
bn=an*an+1=9/4*n^2+3n-1/8+9/8（-1）^n


看完了低阶再看高阶的情况：就用裴波拉契数列来说：a（n+2）-a（n+1）-a（n）=0，a1=1，a2=1.。。属于二阶线性齐次
方法一：初等构造：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。 　　得α+β=1。 　　αβ=-1。 　　构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。 　　所以。 　　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 　　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 　　由式1，式2，可得。 　　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。 　　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。 　　将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
方法二：特征方程X^2=X+1 　　解得 　　X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。 　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。 　　∵F⑴=F⑵=1。 　　∴C1*X1 + C2*X2。 　　C1*X1^2 + C2*X2^2。 　　解得C1=√5/5，C2=-√5/5。 　　∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
直接百度一下大家可以看到初等构造得到的α、β实际就是特征方程的特征根而且当你的数列阶数比较高的时候构造特别麻烦。。。

下面看一个更高阶的：y（n）-2y（n-1）+2y（n-2）-2y（n-3）+y（n-4）=0.。边界条件y（1）=y（3）=y（5）=1，y（2）=0.。。四阶的如果你想初等构造怎么去构造...
所以还是利用特征方程x^4-2x^3+2x^2-2x+1=0.。解除特征跟x1=x2=1，x3=j，x4=-j看到了吧特征根有二重根还有复根复杂了。。y（n）=（C1n+C2）（1）^n+C3（j）^n+C4（-j）^n。。。利用四个边界条件把待定系数逼出来。。最后y（n）=1+cos（nπ/2）

炸炸好久不见

下面总结这种线性常差分方程的解法：1.迭代法；2.初等构造法（这两个只用于低阶情况）
3.时域经典解法：与微分方程的时域解法类似，先分别求齐次解与特解，齐次解用特征方程，特解根据非齐次部分设，在代入边界条件求待定系数
4.变换域解法：其实这才是人们解决实际问题中常用的方法

第四种方法是一个很神奇的东西。。叫Z变换。。我们在微分方程那一节学过对给定边界条件的线性常微分方程可以考虑用拉普拉斯变换去做，相应的在离散域对给定边界条件的线性常差分方程可以用Z变换去做。。。无论是拉普拉斯变换还是Z变换都是把复杂的微分或差分变成简单的代数运算。。。非常简便。。。

y（n+2）-y（n+1）-y（n）=0，y1=1，y2=1。。。还是那个兔子数列问题给出Z域解法：
对方程两边做单边Z变换得：Z^2Y（Z）-Z^2-ZY(Z)-Y(Z)=0,...
得到Y（Z）=Z^2/(Z^2-Z-1)=√5/5*(Z/Z-(1+√5)/2)-√5/5(Z/Z-(1-√5)/2)..在做反Z变换得到y（n）=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}个人比较喜欢这种。。因为不需要想时域那样解出通解还要利用边界条件求待定系数。。

上面许多内容自一本叫做《信号与系统》的书。。。是我们今年选修的一门课。。。我非常感兴趣。。。走了

很好的，可惜我还不能找这么多时间来研究