级数有收敛半径,比如几何级数1+q+q^2+……收敛域为(-1,1)。
但是有的级数收敛展开收敛域就是负无穷到政务区,比如指数函数。从复平面上来看,就是看函数f(z)=1/(1-z),和函数f(z)=e^z的性质就可以了,后者在全平面上全纯,前者显然有奇点1,有weierstrass定理知道,复函数全纯到哪里,他的幂级数展开就内闭一致收敛到哪里,所以就会产生这样的收敛域和原函数定义域不一样的情况。
最后再举个例子,是复分析教材上前言里的一句话,它说1/(1+t^2),在整个实轴上都有着很好的分析性质,但是它的幂级数展开收敛域却只有(-1,1),原因在于在复平面上来看,它的全纯范围最多也就是O(0,1),因为他有奇点±i
但是有的级数收敛展开收敛域就是负无穷到政务区,比如指数函数。从复平面上来看,就是看函数f(z)=1/(1-z),和函数f(z)=e^z的性质就可以了,后者在全平面上全纯,前者显然有奇点1,有weierstrass定理知道,复函数全纯到哪里,他的幂级数展开就内闭一致收敛到哪里,所以就会产生这样的收敛域和原函数定义域不一样的情况。
最后再举个例子,是复分析教材上前言里的一句话,它说1/(1+t^2),在整个实轴上都有着很好的分析性质,但是它的幂级数展开收敛域却只有(-1,1),原因在于在复平面上来看,它的全纯范围最多也就是O(0,1),因为他有奇点±i