令g(x)=f(x)-1.代入原式可得g(x+y)=g(x)g(y)。
从而令x=y=0可得g(0)=0或g(0)=1。若g(0)=0，令y=0可得g(x)=0，于是f(x)=1，矛盾！
所以f(0)=2。当x>0时，g(x)=f(x)-1>1.令y=-x<0，得到g(x)g(-x)=1，所以0<g(-x)=1/g(x)<1。
从而当x<0时，1<f(x)<2.
由(1)可知g(x)>0恒成立。任取实数y>0，可得g(x+y)=g(x)g(y)=g(x)(f(y)-1)>g(x)，所以g(x)单调递增。故f(x)为增函数。