若0＜a1＜1，an+1=an+an^2/n^2.求证{an}有界.
证：若0＜t＜1，且an≥n*t^（n+1）,则an+1≥n*t^（n+1）+t^（2n+2）.
由均值不等式n+t^（n+1）=1+1+···+1+t^（n+1）≥（n+1）t ①
得an+1≥（n+1）*t^（n+2）.所以取t=√a1，即得an≥n*t^（n+1）.
由1/an+1=1/an-1/（an+n^2），有1/an=1/a1-（k=1,n-1）∑1/（ak+k^2）≥1/a1-（k=1,n-1）∑1/k[k+t^（k+1）]，由①有1/an≥1/a1-（k=1,n-1）∑1/t*k（k+1）=1/a1-1/t（1-1/n）＞1/a1-1/t=1/a1-1/√a1，故an＜a1/（1-√a1）.
证：若0＜t＜1，且an≥n*t^（n+1）,则an+1≥n*t^（n+1）+t^（2n+2）.
由均值不等式n+t^（n+1）=1+1+···+1+t^（n+1）≥（n+1）t ①
得an+1≥（n+1）*t^（n+2）.所以取t=√a1，即得an≥n*t^（n+1）.
由1/an+1=1/an-1/（an+n^2），有1/an=1/a1-（k=1,n-1）∑1/（ak+k^2）≥1/a1-（k=1,n-1）∑1/k[k+t^（k+1）]，由①有1/an≥1/a1-（k=1,n-1）∑1/t*k（k+1）=1/a1-1/t（1-1/n）＞1/a1-1/t=1/a1-1/√a1，故an＜a1/（1-√a1）.
