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浅谈微积分
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flywyy1998
二重积分
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微积分是一门研究变量数学的学科。随着物理学的发展,微积分也应运而生。
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1楼
2014-04-20 13:27
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flywyy1998
二重积分
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一.起源与发展
这一部分的内容记得不太清楚。
微积分是由牛顿和莱布尼茨分别创立的。牛顿的微积分思想处处渗透着物理学的思想,而莱布尼茨的符号则更为先进,即是现今的符号。
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2楼
2014-04-20 13:28
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flywyy1998
二重积分
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相比之下,中国在更早之前就具有了微积分的萌芽。刘徽的“割圆 术”就已包含了用有限来接近无穷的思想。
事实上,中国在元朝之前就已具备了产生微积分的全部条件。但明清两朝的闭关锁国使中国的科技发展停滞不前。同一时期,西方的资产阶级崛起,宽松的政治环境使科技发展迅速。中国恰恰是在这关键的一步上落后了西方,未能完成微积分的创立。
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3楼
2014-04-20 13:28
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但是最后完成微积分的奠基工作,使之完善起来,并彻底批判反动的神学观点,不是别人,而是伟大的革命家马克思和恩格斯。这两位革命导师为数学的迅速发展奠定了坚实的辩证唯物主义基础。
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4楼
2014-04-20 13:29
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二重积分
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二.极限
相信这个很多人已经知道了。lim(x→x0)f(x)就是
f(x)在x→x0时的极限。注意,它是否存在与f(x)在x0处是否有定义并无关系。
极限的内容其实还是有点多的。具体请参考《高等数学》。
等价无穷小:若α、β均为关于x的函数,对于lim(x→0)(α/β)=1,则称α、β这两个无穷小等价。(意思对就行)
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6楼
2014-04-21 22:54
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二重积分
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等价无穷小对于求极限还是相当有用的,可以用等价无穷小互相代换。
两个重要极限:lim(x→0)[(sinx)/x]=1
lim(x→∞)[(1+1/x)^x)=e
洛必达法则:对于f(x)与g(x),若当x→x0时f(x)与g(x)同趋近于0或∞,且f(x)与g(x)在x0的去心邻域内可导,且g'(x)不恒为零,则有lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=f'(x0)/g'(x0)
(符号不标准请见谅)
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7楼
2014-04-21 22:54
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二重积分
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与之相仿,还有高阶无穷小,低阶无穷小,同阶无穷小,k阶无穷小等概念,请自行百度。
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8楼
2014-04-23 22:31
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flywyy1998
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二.导数与微分
导数定义:lim(Δx→0)[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx 此即为f(x)在x=x0处的导数。
简而言之,导数所描述的是一个函数在任意位置的切线的斜率,而这些斜率也构成一个关于x的函数,就是f(x)的导函数,也简称导数。记作f'(x)
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9楼
2014-04-23 22:33
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二重积分
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导数公式:请自行查阅
四则运算法则:
[f(x)±g(x)]=f'(x)±g'(x)
[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²
注:加减法则可以扩大到n个函数的情况,乘法也可以,但更复杂,不再说明。
复合函数链式求导:若φ(x)=u,则[f(u)]'=f'(u)φ'(x)
即外层导数乘内层导数,同时可扩大到多个函数复合的形式。
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10楼
2014-04-23 22:33
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考试完接着更
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11楼
2014-04-26 23:50
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二阶导数及n阶导数:对f'(x)再求导即得二阶导数,继续重复这一过程可得n阶导数。
二阶导数可用来判断函数凸凹性,f''(x)>0则在这一区间内下凸,反之则上凸。
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12楼
2014-04-27 18:32
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驻点:f'(x)=0的点
函数极值的判断方法:
必要条件:函数的驻点
第一充分条件:在f'(x)=0时若f''(x)>0有最小值,反之有最大值。
第二充分条件:在驻点的左邻域内均有f'(x)>0,右邻域内均有f'(x)<0,即为最大值,反之为最小值。
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13楼
2014-04-28 22:20
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微分:设y=f(x),对y微分即为dy,dy=f'(x)dx。个人感觉这就是“微元法”。
微分公式:与导数公式几乎完全一样。
利用微分求近似值:f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx
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14楼
2014-04-30 22:41
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不定积分:已知一个函数f(x),有一个函数F(x),使得F'(x)=f(x),F(x)就称为f(x)的原函数,求F(x)的过程即称为求f(x)的不定积分。记作∫f(x)dx=F(x)+C,(C为任意常数,只写C即可)。简单的说就是求导的逆运算。
基本不定积分公式:导数公式的逆用,请自行查阅。
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16楼
2014-04-30 22:51
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第一类积分法:设φ(x)=u,则∫f[φ(x)]φ'(x)dx=∫f(u)du。可以将算式中的dx看做微分符号。
第二类积分法:令x=φ(t),则∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ'(t)dt,再将t=φ^-1(x)代入。注意此积分法要求φ(t)具有反函数t=φ^-1(x)。
分部积分法:∫udv=uv-∫vdu
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17楼
2014-04-30 23:10
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