【立体几何】各种定理的收集和整合

我看完杀手的贴后感触很深，真的很棒，膜拜。翻了翻精品贴，似乎关于的立体几何很少啊，所以想补充一下。
推荐基础扎实的看，看完后用了扣分或者根本不会用的概不负责（雾），主要内容是课内讲过但不深入的和课外的知识。（课内的重点再见） 再说一遍，由于是课外定理，所以步骤完整也可能扣分，选择填空当然无压力，大题慎用。
定理和例题来源很杂，不注明出处了，可以自行百度。（其实就是懒）
水平比不上各位大神（不是谦虚，经常暴死在大考中），欢迎指正和补充。

大纲：1空间向量（共面向量、法向量） 2三余弦、三正弦定理 3面积射影定理、体积法求线段长
4三面角正弦、第一第二余弦定理 5四面体对棱夹角公式
6空间余弦定理（异面直线上两点距离公式）推论：二面角中的余弦定理（？不知道叫什么）
7三面角的棱面角公式
最后几个不定期更新，比较难QAQ，楼主自己都不太懂。随时可能变，仅供参考

1空间向量（共面向量、法向量）
建系大法好，建系大法好，建系大法好！
例1　正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为?
放到立方体中建系，类似的题太多了。对棱相等放长方体里。
例2 平面正六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,AD=2,AA1=3，角BAD=90°,角BAA1=角DAA1=60度,求AC1
这道题也可建系，不过有点烦。
（以下省略若干向量）强拆，AC1的模=√（AC1）^2=√（AB+AD+AA1）^2 展开算
如果这两道都不能轻松做的话还是洗洗睡吧(╯▽╰)

共面向量定理：如果两个向量a.b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对(x.y),使　p=xa+yb
这个粗看没卵用，其实可以证线面平行。只需证直线的方向向量与一平面内的两不共线向量共面，就可证平行（且该直线在平面外，不写可能扣分）
法向量：垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量
常用于求二面角，我最喜欢取平面中的两个向量叉乘，然后求两个法向量的余弦（这里的正负与二面角余弦的正负不一定相等！）
关于正负的判断有一个不错的判断法（其实目测也不错⊙ o ⊙）
如图，二面角为A-L-B。若θ1=θ2，C、D在同侧，则二面角A-L-B≥∠COD（都等于0°时取等）；若θ1=θ2，C、D在异侧，则二面角A-L-B≤∠COD（都等于180°时取等）；若θ1≠θ2，则二面角A-L-B和∠COD大小不定

例3

下面是我的无脑算法<(￣ˇ￣)/
以CD,CB为X、Y轴,过C作BCD的垂线为Z轴建系。
（1）设P（X1，Y1，1/2） Q（X2，Y2，1/2）
则向量PQ=（X2-X1，Y2-Y1，0）
又因为面BCD中存在向量a=(X2,Y2,0),b=(-X1,-Y1,0) 所以PQ=a+b
由共面向量定理，PQ与a,b共面，且PQ不属于面BCD，所以PQ∥面BCD
（好赖皮）
（2）设CD=(X,0，0) CB=(0，Y,0) m,n为面CBM，面BMD的法向量
则CM=(X,0，1),BD=（X,-Y,0）,MD=(0，0，-1)
m=cb×cm=(y,0,-xy) n=bd×md=(y,x,0)
｜cos<m,n>｜=1/2
解得X=根号2，所以∠BDC=60°

2三余弦、三正弦定理
这俩当然要放♂一♂起，联立各种好用，也是我平时做题用的比较多的，计算相对简单，而且步骤也很省。
三余弦定理
设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：
cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (∠BAC和∠OAB只能是锐角）

三正弦定理
设二面角M－AB－N的度数为α，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成的角为γ，则sinγ=sinα·sinβ

可能会觉得有点难记，我的方法是：三余弦：线线=线垂^2 三正弦：线面=线线*面面
只可意会不可言传，做多自然会熟练
例1　如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.(1994年全国高考理科数学23题)

例2　已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3．P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=√7时，求二面角P－AC－B大小．(上海市1986年高考试题)

例3

（1）略（2）8π/3
（3）设二面角为α
由三余弦，cos∠SBQ=cos∠ABQ*cos∠ABS ……①
由三正弦，sin∠ABQ=sin∠SBQ*sinα ……②
联立①②，得cos∠ABQ=√3/2，∠ABQ=30°，∠A0Q=2∠ABQ=60°
标准格式有木有

还可以讲讲行列式大法 四面体体积公式 四面体斯坦纳定理

帮楼主配图，别怪我多事

镇楼图不错……

你是效实的？

4三面角正弦、第一第二余弦定理
什么？三面角是什么？我猜95%的同学已经震惊了，所以此定理是居家必备，装逼神器（其实用的可能不是很多）给人不明觉厉之感，做题时不经意间说一句：“嗯，这道题可以用三面角第一余弦定理解……”瞬间周围安静了（大雾）
其实三面角不是角，可以理解为一个图形，先看图
那个SA SB SC就是三面角

又感觉难记是不是，其实很有规律，改一下字母就是了。
例 已知圆锥的底面直径AB=2，顶角∠APB=90°，又底面半径OC⊥AB，求：
（1）异面直线AC与PB所成的角．
（2）二面角B-PA-C的正切值
答案：（1）延长CO交圆O于D
∵AC∥BD
∴异面直线AC与PB所成的角为∠DBP或其补角（有分）
cos∠DBP=……=1/2，∴∠DBP=60°
（2）由三面角第一余弦定理
cos∠CPB=cos∠PA*sin∠APC*sin∠APB+cos∠APC*cos∠APB
解得cos∠PA=√3/3 ,tan∠PA=√2

5四面体对棱夹角公式
第一次见这定理就感觉有用，四面体可以说是立几中的基本图形了，很好找
一般思路是构造四面体，求出各棱长。

例题普通方法都能做，不要被吓到，其实很简单。

（1）取四面体ACEF （2）立方体建系 （3）取BE中点G，解三角形CFG （4）向量拆分

（1）取四面体CA1C1B （2）建系 （3）取A1C1、CC1、BC中点DEF,解三角形（4）向量拆分

例3 （1）取四面体CBEF （2）建系 （3）构造△有点烦，不推荐（4）CE·BF=1/2（CB+CA）(1/3BA+2/3BD)=……