我举两个例句
예1) 지갑을 안 가져가서 시장에 가다가 그냥 왔어요.
예2) 지갑을 안 가져가서 시장에 갔다가 그냥 왔어요.
第一个句子是在到市场之前发现了没带钱包的事实，所以回家了。第二个句子是都已经到了市场才发现没带钱包只能回家了。

○‘-다가’는
1.어떠한 행위가 진행되어 가는 도중에 그 행위를 그치고 다른 행위로 옮겨감을 나타낼 때 사용합니다.
예) 학교에 가다가 다시 왔어요.
2.어떤 일을 계속 하면서 다른 일을 할 때 사용합니다.
예) 처음으로 영화를 보다가 울었어요.
○‘-았/었다가’는
1.어떠한 행위를 다 하고 난 후 뒤의 행위를 바로 이어서 할 때 사용합니다.
예) 지갑을 안 가져가서 시장에 갔다가 그냥 왔어요.
2.어떠한 행동을 하는 과정에서 뜻하지 않게 다른 일이 일어남을 표현할 때 사용합니다.
예) 장보러 시장에 갔다가 싼 티셔츠가 있어서 사왔어요.

加了았 었就是完成式了。说明这个动作结束之后。
아/어다가 是这个动作正在进行当中

았었다가:...之后
다가:...的途中