21771

511*41+（1+2+..40)*41=21771

正规解题而非穷举，运用已知条件解题？给出证明解题

做变换X=51-u，y=1001-v, Z=1501-w
可知u,v,w为正整数，满足 u+v+w=553和1<=u<=41 ,1<=v<=971,1<=w<=1461
明显971,1461的限制已无用
先计算u+v+w=553 u,v,w为正整数无其他限制的情形
方法有C(552,2)=152076种
需要去除 u+v+w=553其中u>41的情形 ，设u=p+41
可得到 p+v+w=512 p,v,w为正整数无其他限制
方法有C(511,2)=130305种
总的方法数为152076-130305=21771种。
当然只是本题数字比较特殊，否则需要使用容斥原理求

这不是数论了

一次全部解决啦。

令X=9+u，y=29+v，Z=39+w，获得解
u+v+w=1923且有条件1≤u≤41，1≤v≤971，1≤w≤1461，由容斥公式(原理)获取整数解组为f(0)-f(1)+f(2)=(1922,2)-(1881,2)-(951,2)-(461,2)+(910,2)+(420,2)=21771
或取Ⅹ=9十u，y=9+v，Z=9+w，u+v+w=1973,且1≤u≤41，21≤v≤991，31≤w≤1491,则由容公式得，F=(1972,2)-(981,2)-(1931,2)-(481,2)+(940,2)+(440,2)=21771

设Ⅹ=k1+u，y=k2+v，Z=k3+w，这是第一类解法，满足k1取9时1≤u≤41条件不变，9≤k2≤29，9≤k3≤39，则新的条件下解不定方程，由容斥公式计算，其结果值都是21771