先从简单开始，假设有一种一维生物，生活在一条直线上，整条直线就是它们的宇宙，它们只能观测到这条线上的东西，对线外的东西无法形成直观图像，因为那是更高维度的东西了，因此，它们无法想象一个圆(二维球)。设想，有个二维球跟它们宇宙相交并穿过，它们将观测到什么。作为在更高维生活的我们，很容易想象，会观测到先出现一个点，变成慢慢变长的线段(别忘了同时也是一维球)，到最长再慢慢变短，最后缩成一个点消失在它们宇宙。

再想象三维球穿过二维宇宙，也能理解，二维宇宙里的生物能观测到出现一个点，变成慢慢变大的圆(二维球)，到最大再慢慢缩小，最后缩成一个点消失在它们宇宙。
好了，现在如果有个四维球穿过我们的宇宙，大家应该能想象会发生什么了。对，我们会看到我们宇宙中出现一个球，从一个点开始变大，到最大再缩小，最后缩成一个点消失。

说了这么多，该说正事了。为了方便，我们把球心都放在原点

图中可以看出
线段可看成是点沿x轴正负方向堆积形成的，
圆可看成是线段沿y轴正负方向堆积形成的，
球可看成是圆面沿z轴正负方向堆积形成的。
结合前面说的，我们是不是可以用下面的说法表示：
一维球由零维球堆积形成
二维球由一维球堆积形成
三维球由二维球堆积形成

下面我们再研究堆积方式，一维没什么说的，半径R的一维球其(一维)体积为V1=L=2R。

我们看看半径为R的二维球的情况，因为是对称的，方便起见我们只看y轴上半部分。可以看出，沿y轴正方向走，一维球的半径是不断缩小的，而且根据勾股定理很容易知道这个半径r和y的关系。因此二维体积V2(也就是圆面积S)可以求出。

同理，三维球可用同样方法求出体积。

下面考虑四维情况。首先看看球心在原点的各维度球体的方程

可以看出形式是一样的。前面又举例说明高维度的球可以看成是由低一维度的球堆积形成的。所以有理由相信，四维的球可以看成三维的球往w轴正负方向堆积形成。并且三维球半径与w的关系跟前面二维一维的形式一样(这点很容易从球的方程看出)。所以四维球的四维体积V4也可以求出(图就不画了，也画不出)

到这里该结束了，当然也可以继续往下，求五维球的五维体积，不继续往下了，方法都一样

另外扯一点，很明显的但是或许没多少人注意的，圆的周长正好是面积的导数，球的表面积正好是体积的导数，那么能不能推广到四维呢，这个我不知道，或许能吧，没太玩过这个，有兴趣的可以想想。

就说到这，希望对大家理解四维空间有一点点帮助。

相对来说理解四维要先构建四次方概念，但多数人对此一无所知，就冒出来个时间，之后几乎全中国都以为四维是时间。四维轴的名字即没有中文写法也没有英文写法，也许这就是群体误解的原因。
下面是标准角度投影。

克莱因瓶不一定是四维中的莫比乌斯带，因为设想一下当构建在三维中的莫比乌斯带投影在二维中是个什么样子。

我以前好像算过