关于三次方程和四次方程的通解问题

好了
这个解方程的过成为了更加清晰
我摘抄来自——《数学的魅力》这一本书

首先，我给大家介绍几种特殊的方程
这个也便于分解因式
一般会在不定积分中遇到
其实很简单的就单位根的问题
相信很多人都知道
X^n=1,
X^n=-1，
这个式子分解因式大家通过
（isinx+cosx)^n=cosnx+isinnx
[证明很简单，在此省略）
旧可以解决了
如果后面是其他的数我们也可以用同样的方法解决

另外我们也可以很简单的把
X^4+MX^2+N
以及累世上面的一些三项式分解成实数域上的二次因式的积的形式
在此后大家可以把相关的题目弄上来一起解决

到了上面一步
我们就把任何一个三次方程转换成为
x^3+mx+n=0………………（*）
的形式了
在这个方程中我们把x=u+v的形式表示为方（*）程的解
带入得到
u^3+v^3+b+(3uv+a)(u+v)=0
这个时候就有u^3+v^3=0
以及3uv+a=0
这个时候我们可以把上面的两个式子转化为一个二次方程
关于u^3,v^3的
学过二次方程的解法的都会知道最后的u^3,v^3的值
而u+v才是原方程的解
这个时候我们由3uv+a=0
可以知道
方程的最后的解是
u+v
uw^2+vw
uw+vw^2
这样我们就得出了一般的思路方法

接下来我们开始讨论这个解的类型
u^3+v^3=0 
3uv+a=0
这个方程组表示的二次方程的最后的判别式为
b^2/4+a^3/27=B
当B>0时，u^3不等于v^3
此时方程有一个实根和两个虚根
当B=0的时候
u^3=v^3
这时方程有两个等根和另外一个根
当B<O，u^3，v^3是共扼虚数
方程有三个不同的实数根

纠正下
x^3+mx+n=0………………（*）
改为 
x^3+ax+b=0………………（*）
不过这里的参数与第一个 Y^3+aY^2+bY+c=0不同了

上面都是理论步骤
具体的下面我们给几个例题
并且介绍一般的四次方程的解法
另外强调下6L中的w我们前面以经介绍过了
就是X^3=1的单位根
大家有兴趣可以去解下

例题1：
X^3+3X^2+9X+9=0
解：
首先根据有理根的理论
我们带入9的因子（所有的）和1的比值
正负1，正负3，以及正负9都不是原方程的根 
所以它没有有理根
这时对它令X=Y-1得到
Y^3+6Y+2=0
这个我们得到了
u^3=2
v^3=-4
那么带入
u+v 
uw^2+vw 
uw+vw^2 
就可以得出这个方程的解为：
X1=(2)^(1/3)-(4)^(1/3)-1
X2=(2)^(1/3)w^2-(4)^(1/3)w-1
X3=(2)^(1/3)w-(4)^(1/3)w^2-1

下面我门来介绍下一般的四次方程如何解的问题
由因式分解的基本定理我们可以知道
任何一个四次实系数方程可以在实数域上的两个二次的实数因式的乘积
那么我门的目的就是把它分解了
下面以一个例题说明这一点

例题2：
解方程：
X^4-4X^3+X^2+4X+1=0
首先我们把四次和三次都给配掉
得到；（X^2-2X)^2-(3X^2-4X-1)=0
我们此时就是要把它配成平方差的形式
这样显然 就可以分解因式了
显然我们采取待定系数的方法
第一项变成；（X^2-2X+A)^2
那么为了使它不变后面的一部分变成了
（2A+3）X^2-（4A+4）X+A^2-1
这个时候后面的要为完全平方式、
就必有判别式等于0
我们在此得到了一个三次方程
2A^3-A^2-10A-7=0解得到这个方程的一个解为A=-1
带入就可以分解因式
最后的到
（X^2-X-1)(X^2-3X+1)=0
再解它就很简单了

以上给出了一个三次四次方程的一般解法
不过一般的解的过成都是很麻烦的
在实际中我们遇到的一些方程往往没有这么麻烦的解
一般是可以直接分解因式的
或者是有有理根的
人工解高次方程确是一件很麻烦的事情

迭代法最简单，狂按计算器就行了~~~~

爆汗…额＿看来现代社会的数学得全用工具了。…