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【高中&竞赛】运动学-sun的关联运动小讲堂

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最近刚刚复习了运动学速度关联和运动分解法的一些内容,在此分享一下自己的一些收获和体会。
内容可能是初赛(自招)难度左右(这一部分毕竟质心的难度都是6)
(像我这种高二的老人到现在还在学运动学,真的是没救了
大家可能之前见过我发的那个光路透镜帖子,可惜那是当时初三啥都不懂扯出来的东西,看了竞赛的光学才知道自己当时那些东西是多么基础多么肤浅
同样,这里发的东西也可能非常基础非常肤浅,鄙人不才,有错误也请多多指教
辉夜大小姐镇楼


IP属地:广东1楼2019-04-21 19:56回复
    我们先从简单的速度关联说起
    人教版高中物理必修2第五章:曲线运动第1节便提到了运动的合成与分解
    当时我们接触了最简单的速度关联


    IP属地:广东来自Android客户端2楼2019-04-21 20:01
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      如图,这是我们接触的一个典型的速度关联
      这道题经常以“人拉船”的形式出现:一个人站在岸上以速度v拉一条小船(即图中的物块),绳子绕过定滑轮与小船相连,若绳子与水平面夹角为θ,求物体的速度v_物。


      IP属地:广东3楼2019-04-21 20:14
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        我们一般的解法是把船(即题目中的物块)的运动速度分解为两个速度,然后沿绳方向的速度等于v,它与物体实际速度的关系是:
        于是我们就得出了
        也就是
        这样我们就得出了小船的速度


        IP属地:广东4楼2019-04-21 20:20
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          这道题我们至少运用了以下两个知识点:
          1、合运动的方向就是物体实际运动的方向。如图中的物体,实际运动方向就是水平向左。
          2、沿不可伸长(弹性很小)的绳子,速度的分量相等。
          第二点从直观上看是很显然的,如果两端速度沿绳的分量不等,那么绳子将被拉伸或压缩,拉伸会使绳子断开,压缩会使绳子失去弹力而不能传递速度,所以速度只能相等。
          这里我们也可以用向量和导数假装严格证明一下


          IP属地:广东5楼2019-04-21 20:27
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            两个质点的速度分别为v1,v2,速度矢量与杆的夹角为θ1,θ2,并且两个质点运动过程中满足
            其中l为常量(杆的长度),r1,r2为质点的位置矢量,下面我们证明:
            图如下:



            IP属地:广东6楼2019-04-21 20:52
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              用word打公式真累,楼主歇歇


              IP属地:广东来自Android客户端7楼2019-04-21 20:58
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                dd,好像有点冷
                前面讲的都是基础知识,后面才是竞赛内容


                IP属地:广东来自Android客户端8楼2019-04-21 21:35
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                  除了运动合成分解之外,是否有其他的方法?
                  当然是有的,我们可以搬出牛顿在系统整理微积分理论之前经常使用的办法——微元法
                  这种方法也是物理竞赛中十分常用的办法,本质上就是微分的计算


                  IP属地:广东来自Android客户端9楼2019-04-21 21:41
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                    电脑画图太累,我还是手画吧
                    还是上面那道题,我们设物体此时的速度为v',绳子自由端速度为v,经过一段极短时间Δt,物体的位移是
                    PQ=v'Δt
                    而此时绳子转过了Δθ的角度,过Q点作辅助线QH垂直于SP,由于Δθ很小所以SH和SQ近似相等,绳子收缩的长度为vΔt=SP-SQ≈SP-SH=PH
                    在△PQH中有PH=PQcosθ,即vΔt=v'Δtcosθ
                    约去Δt,有v'=v/cosθ


                    IP属地:广东来自Android客户端10楼2019-04-21 22:11
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                      上述过程看似“不严谨”,但得出来的答案还是和分解法的答案一致。实际上,当时间Δt→0时,上述的“顶角很小”的“等腰”三角形的两腰相差的量比vΔt更小(严谨的说叫高阶无穷小),作为一种几何微元,我们忽略了他们的误差。


                      IP属地:广东来自Android客户端11楼2019-04-21 22:14
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                        养肥再看


                        IP属地:山东来自Android客户端12楼2019-04-21 22:17
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                          微元法中,上面出现的顶角Δθ→0而底角接近90°的三角形是一个重要的模型,我们可以把它称为“直角等腰三角形”,它的三个内角分别为0°,90°,90°(区别于45°,45°,90°的等腰直角三角形)。做这样的近似处理后,两个底角为直角,可以直接运用锐角三角函数。


                          IP属地:广东13楼2019-04-22 11:42
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                            当然,上面的题有更为数学,也更为严谨的方法,我们可以运用数学课上学习的“求导”
                            首先,物理上因为打撇的字母经常用于区分不同的物理量,所以物理上并不用撇来表示求导。如果要表示求导,一般使用:

                            物理量上加一点,表示的是对时间求导,对其他求导用dy/dx。


                            IP属地:广东15楼2019-04-22 11:52
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                              如图,我们可以设AB,BC,AC分别为s,h,l
                              那么绳收缩的速度就是v=dl/dt,物块前进的速度是v’=ds/dt
                              而且三个长度满足关系:s²+h²=l²
                              上面的式子对时间求导有(注意s,l是变量,而h是常量)

                              我们也得出了相同的结果,可见求导是多么强大


                              IP属地:广东16楼2019-04-22 12:14
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