我看的量子力学，总是在一个空间蹦哒，要说里边有个H的对偶空间吧，我感觉就是里边元素取负共轭，，这样算符的复共轭就跟数学里的算子的对偶有这某种微妙关系。 比较糟糕的就是，算符到复共轭算符间的对应是反线性的，算子到对偶算子间的对应是线性的。。。operator称算子就是说的数学，算符就是物理，避免混淆，其实一个东西。

一大堆术语堆彻上来，让人东南西北一时摸不着头脑。我觉得要理解这些抽象的概念，可以从具体的线性代数操作入手。考虑一个n维的列向量V对应于Hilbert space中的一个元素。把它变成行向量V* 对应dual Hibert space的一个元素。于是，下面的操作就顺理成章了。
我们可以把作用在V上的线性变换，也就是n by n 矩阵A看作是一个Operator。然后对A进行转置操作（transposition）获得所谓的dual operator A*。A*从右边作用在V*上，也就是V*A*。
这样，A对应了楼主所说的左边的数学概念，operator。A*对应了右边的什么 complex conjugate operator.

Hilbert space理论的建立主要就是为了处理微分算子的解空间。所谓的物理算符就是这些微分算子（及拓展）。
Hilbert space的定义里的重要部分是存在一个inner product结构<u,v>，对于一个作用在v
上的算符A存在<u,Av>=<A*u,v>，这里定义的A*是adjoint operator。
Hermitian conjugate是矩阵的一个操作（转置+复共轭矩阵）。对于有限维Hilbert space，可以用矩阵表象表达。当矩阵表象下，这个内积是正定并且归一化时，adjoint等同于矩阵取Hermitian conjugate；self-adjoint operator就是Hermitian matrix
对于无穷维Hilbert space，如果operator有界（定义大概等同于在全Hilbert space上有定义），则所有有限维操作d偶可以推广；若operator无界，则两者不等价，Hermitian是self-adjoint的必要但不充分条件（还要求算符的定义域相等）。

获得某个物理量的信息必须对系统进行测量，而测量过程必然会改变系统的状态，使系统从一种状态转化为另一种状态，因此描述这个物理量，我们不能只考虑系统的一个状态，而应该同时考虑系统的两个状态。而物理量这个概念并不是经典物理中的某种客观存在，而是一种操作，一种使系统状态从一种状态转化为另一种状态的操作。在数学中可以用于描述系统状态的工具有两个：函数和向量。将一个函数变成另一个函数在数学上称为算符，因此物理量就是算符；将一个向量变成另一个向量在数学上称为矩阵，因此物理量就是矩阵。这两种不同的描述方式可以用于描述同一个系统，共同构成了希尔伯特空间理论。

1、电离层有电能，这电能来自于太阳辐射紫外电磁波电离气体产生，利用高频激光电离地面与电离层之间绝缘气体，可引导电能至地面供人类使用。可产生能量消解作用，降低大气层整体能量，减少气候变暖产生的各类极端天气灾害。过度使用可使电离层失效，大量紫外线、宇宙射线直接辐射地面对人类造成伤害。
2、地核有热能，这热能来源于地球形成初期，重元素在地心引力作用下积聚地核中心产生核聚变释放热能所致。利用岩石压裂技术，将液态水压入地壳薄弱岩石层吸热，产生高温高压蒸汽引导进入汽轮机做功发电供人类使用。可产生能量消解作用，释放地壳下层积聚热能，消除地震。类似于火炉架水壶，壶盖有孔洞，孔洞释放水壶内压防止顶盖。
3、自由落体运动实验结论错误，精确度不够，肉眼无法观测到两者自由下落之间差异。广义相对论指出，时空并不是作为背景存在，也参与世间万物运行法则。物体做自由落体运动与所处时空的曲率有关，虽然地球对两物体所处时空曲率一致，但重的物体对自身时空曲率影响更大，下落速度比轻的物体更快，这是验证广义相对论正确性的另外一项实验。伽利略在《两种新科学的对话》中阐述轻重两物体绑在一起悖论，忽视了物体之间刚性连接与柔性连接。
4、引力本质是时空弯曲、电磁波本质是时空震荡，时空因震荡能量分布不均产生弯曲。迈克尔逊.莫雷实验器材架设在地球水平面上，因地球水平面时空曲率处处相同，同源光经过曲率相同时空再次汇聚，是无法观测到干涉现象。必须使一束同源光沿地面垂直面照射，一束沿地面水平面照射，经过相同距离反射汇聚后方可观测到干涉现象。

要讨论数学对应就彻底数学化好了。有约束和没有约束稍有区别。
无约束的量子力学在现代表述下，从可观测量出发，将可观测量复化构成一个*-代数A，通过GNS构造给出一个Hilbert space H，对应物理的态空间，代数A在H上有不可约表示。可观测量为实则其表示为adjoit operator。至于什么厄米，早期物理学家只懂线性代数所以把有限维的那一套照搬的罢了
有约束量子化则有不同，代数量子化下，物理上的态空间需要施加约束算符，求解Cψ=0，但C未必有界，比如C=z(约束在平面上)，这时候0若不是点谱，就凉了。所以需要把态空间改成rigged Hilbert space，可观测量只需essentially self-adjoint即可