科普——麦克斯韦方程组（转）

如何深入浅出地讲解麦克斯韦方程组？这题主简直坑爹。不讲微积分怎么给你讲麦克斯韦方程组？你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。

1. 力、能、场、势
经典物理研究的一个重要对象就是力force。比如牛顿力学的核心就是F=ma这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。
在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着F=q（E+v×B）的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是势potential。
一张图表明关系：
　　　　积分
　　力－－－＞能
　　｜　　　　｜
　　场＜－－－势
　　　　微分
具体需要指出，这里的电场（标为 E）和磁场（标为 B）都是向量场，也就是说空间中每一个点都对应着一个向量。如果我们把xyz三个分量分开来看的话，这就是三个标量场。而能量和势是标量（电磁学中的势其实并不是标量，原因马上揭晓），放到空间中也就是一个标量场。在力/场和能量/势之间互相转化的时候，我们是在3<->1个标量场之间转化，必然有一些信息是丢掉了的。怎么办？
一个显而易见的答案是“保守力场”conservative force field。在这样一个场中，能量（做功）不取决于你选择什么样的路径。打个比方，你爬一座山，无论选择什么路径，只要起点和终点一样，那么垂直方向上的差别都是一样的，做的功也一样多。在这种情况下，我们对力场有了诸多限制，也就是说，我假如知道了一个保守力场的x一个分量，那么另两个分量yz就随之确定了，我没得选（自由度其实只有一个标量场）。有了保守力场这样的额外限制，向量场F（3个标量场）和（1个）标量场V之间的转化便不会失去信息了。具体而言，二者关系可以写作F=-▽V这里不说具体细节，你只要知道▽是一种固定的、把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了（叫做算符operator）。
那么我们想问，电场和磁场是不是保守力场呢？很不幸，不是。在静电学中，静止的电场是保守的，但在电动力学中，只要有变化的电场和磁场，电场就不是一个保守力场了；而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明，在电磁学中，我们很少涉及能量这个概念，因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注“场”这个概念，尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分，但我们没有办法，这是不让信息丢掉的唯一办法。那么，既然势也是标量，它是否也是一个没什么用的概念呢？恰恰相反，在电动力学中我们定义出了“向量势”vector potential，以保留额外的自由度。后面我会更具体地谈到这一点。
总而言之，我想说明一点，那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场，而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势（包括电势和磁向量势）也是有用的概念，而且不像引力势是一个标量，在电磁学中势不得不变成一个向量。

2. 麦克斯韦方程组
前边说到，麦克斯韦方程组Maxwell equations是描述电场和磁场的方程。前边也说到，因为电磁场不是保守力场，它们有三个标量场的自由度，所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此，麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分，而整个方程组也有积分形式和微分形式两种。这两种形式是完全等价的，只是两种不同的写法。这里我先全部写出。
积分形式：

微分形式：

这里 E 表示电场， B表示磁场，
ε0和μ0只是两个常数暂时可以忽略。积分形式中 Q 是电荷， I是电流， V 表示一块体积，∂V表示它的表面，而S表示一块曲面，∂S表示它的边缘。微分形式中 ρ 是电荷密度（电荷/体积）， J 是电流密度（电流/面积）， ▽· 和▽×是两个不同的算符，基本可以理解为对向量的某种微分

老卡老卡

先不说任何细节，我们可以观察一下等式的左边。四个方程中，两个是关于电场E的，两个是关于磁场 B的；两个是曲面积分或者散度▽· ，两个是曲线积分或者旋度 ▽×。不要管这些术语都是什么意思，我后面会讲到。但光看等式左边，我们就能看出四个式子分别描述电场和磁场的两个东西，非常对称。

3. 电荷->电场，电流->磁场
这一部分和下一部分中，我来简单讲解四个式子分别代表什么意思，而不涉及任何定量和具体的计算。
我们从两个电荷之间的库仑力讲起。库仑定律Coulomb's Law是电学中大家接触到的最早的定律，有如下形式：

其中Q是电荷，r是电荷之间的距离，是表示方向的单位向量。像我之前说的，把其中一个电荷当作来源，然后刨去另一个电荷，就可以得到电场的表达式。
高中里应该还学过安培定律Ampere's Law，也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式，但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源（电荷）之间的“力”，而安培定律是描述了“一个”来源（电流）产生的“场”。事实上，电磁学中也有磁场版本的库仑定律，描述了两个微小电流之间的力，叫做毕奥-萨伐尔定律Biot-Savart Law；反之，也有电场版本的安培定律，描述了一个电荷产生的磁场，叫做高斯定律Gauss's Law。这四个定律之间有如下关系：

数学上可以证明库仑定律（毕奥-萨伐尔定律）和高斯定律（安培定律）在静电学（静磁学）中是完全等价的，也就是说我们可以任意假设一个定律，从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学，前者是非常不便的而后者很却容易，所以尽管库仑定律在中学中常常提到，麦克斯韦方程组中却没有它，有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(1)和(4)的第一项，即：
高斯定律（积分、微分形式）：

安培定律（积分、微分形式）：

我们继续推迟讲解数学关系，单看这几个式子本身，就能看到等式的左边有电场 E（磁场 B），而右边有电荷 Q（电流 I）或电荷密度 ρ（电流密度 J ）。看，电荷产生电场，电流产生磁场！

4. 变化磁场->电场，变化电场->磁场
然而这不是故事的全部，因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应，也就是说变化的磁场是可以产生电场的，这就是法拉第定律Faraday's Law。类似地，麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善，除了电流以外，变化的电场也可以产生磁场，这被称为安培-麦克斯韦定律Ampere-Maxwell Law。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(2)和(4)的第二项，即：
法拉第定律（积分、微分形式）：

安培-麦克斯韦定律（积分、微分形式）：

同样地，等式的左边有电场 E（磁场 ），而右边有磁场 B（电场 E ）的导数d/dt或偏导∂/∂t。看，变化磁场产生电场，变化电场产生磁场！
需要指出的是，我这样的说法其实是不准确的，因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场（磁场）和磁场（电场）的变化率之间的定量关系，而不是因果关系。
小结一下，我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思，基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学，具体看看这些方程到底说了什么。在这之前，我们必须花一点时间了解一下向量微积分的皮毛。

5. 向量积分
普通的单变量微积分基本可以理解为乘法的一种拓展。我们想计算一个矩形的面积，我们用长x 乘宽y ，即 xy 。如果宽不是一个定值而是根据长而变化的（也就是说宽是一个长的函数，即宽 =y(x)），那么我们就需要积分，记为“ ”。这样的想法也很容易推广到更高的维度，比如在一块体积 V 内，若电荷密度为ρ ，那么这块体积内的总电荷就是 Q= ρV；如果ρ 在空间中每一点都不一样，是个关于坐标的函数 ρ(X) ，那么就要变成积分 （这里 表示是一个三维的积分，很多时候也可以省略写为一个 ）。
在向量场中，这个事情比较麻烦。首先两个向量的乘积的定义稍显复杂，必须使用点乘dot product，即 u·v ，它暗示着两个向量之间的角度，也就是有多么平行。如果 u和 v完全平行，它们的点乘是一个正值；如果方向相反，则是一个负值；如果垂直，那么为0。另一方面，我们不一定要像上一个电荷的例子一样积上整个体积 V，我们可以只积一个曲面 S或者一条曲线 r 。这就是所谓的曲面积分和曲线积分的概念。

曲面积分surface integral有如下形式：

其中 S 表示我们需要积的曲面， F 是我们想要积的向量场，· 代表点乘， a指向垂直于 S 的方向。因此，我们看到，如果 F 和 S 是平行的，那么点乘处处得0，这个曲面积分也为0。换句话说，曲面积分表示着向量场 F穿过曲面 S的程度，因此也很形象地叫做通量flux。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲面所在的位置）：
曲面积分（通量）为0:

曲面积分（通量）不为0：

那么曲线积分line integral也很类似，只不过我们不积一个曲面 S而是一个一维的曲线 r 。它有如下形式：

其中 r 表示我们需要积的曲线，· 代表点乘， l 指向曲线 r 的方向。不难看出，曲线积分表示着向量场 F沿着曲线 r的程度。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲线 r）：
曲线积分不为0：

曲线积分为0：

特别地，如果曲线是闭合的（首尾相连的），那么我们可以在积分符号∫上画一个圈，表示闭合，然后这个特殊的曲线积分叫做环量circulation，因为是积了一个环嘛。很显然，如果 F 是个保守力场，那么我随便找一个闭合曲线，做的功都一定为0（这就是保守力场的定义啊），所以保守力场的任意环量都为0。最后一提，“环量”这个名字很少使用，一般就直接叫做“闭合曲线的积分”。
定义一个通量所使用的曲面 S 则不一定要是闭合的，任何曲面都可以。如果这个曲面很特殊恰好是闭合的，我们也可以在积分符号 上画上一个圈，代表闭合，但这个量则没有一个特殊的名字了。
总结如下表：

6. 麦克斯韦方程组的积分形式
我非常不严谨地描述了曲面积分和曲线积分分别是什么。我们回头看看麦克斯韦方程组的积分形式，我们应该都能看懂了。

(1) 高斯定律：　　　　电场 E 在闭合曲面∂V上的通量，等于该曲面包裹住的体积 V内的电荷 Q（乘上系数1/ε0）；
(2) 法拉第定律：　　　电场 E 在闭合曲线∂S上的环量，等于磁场 B在该曲线环住的曲面 S 上的通量的变化率（乘上系数 -1 ）；
(3) 高斯磁定律：　　　磁场 B在闭合曲面∂V上的通量，等于 0 ；
(4) 安培麦克斯韦定律：磁场 B 在闭合曲线∂S上的环量，等于该曲线环住的曲面 S 里的电流 I（乘上系数μ0），加上电场 E在该曲线环住的曲面 S 上的通量的变化率（乘上系数μ0ε0 ）。

虽然在我看来，这样的描述已经是非常通俗、没有任何数学了，但对于没有学习过微积分的同学来说，显然还是太晦涩了一点。那么我来举几个例子吧。
(1) 高斯定律：
例子1：假设我们有一个点电荷 Q ，以其为球心作一个球，把这块体积称为 V ，那么∂V 就是这个球的表面。这个电荷 Q产生了一些电场，从中心的 Q 向外发射，显然电场线都穿过了球的表面 ∂V，所以“闭合曲面 ∂V 的通量”是个正数，不为0，而“该曲面包裹住的电荷”为 Q，也不为0。
例子2：假设我们把电荷 Q 替换为 -Q ，那么所有的电场线方向都反过来了，∂V 的通量（记得通量中的点乘吗？）也因此获得了一个负号，所以“闭合曲面∂V 的通量”变成了负数，而“该曲面包裹住的电荷”为 -Q ，也变成了负数。等式再一次成立。
例子3：假设我们把这个球的半径扩大为原来的2倍，这个球的表面积就变成了原来的4倍。与此同时，由于库仑力的反比平方定律，由于球表面与球心电荷Q的距离变成了原来的2倍，在球表面∂V的电场强度也变成了原来的1/4。通量（电场和面积的积分）获得一个系数4，又获得一个系数1/4，所以“闭合曲面∂V 的通量”没有变，而“该曲面包裹住的电荷”显然仍然为 Q ，也没有变。
例子4：事实上，我们随便怎么改变这一块表面积的大小、体积，算出来的通量都不会变（尽管会非常难算），因为等式的右边“该曲面包裹住的电荷”一直都没有变。
例子5：假设我们把电荷移到这个曲面外面，那么电场线会从这个球的一面穿透进去，然后从另一面出来，所以当我们做积分的时候，两个方向的通量抵消了，整个“闭合曲面 ∂V的通量”为0，而此时我们的曲面没有包裹住任何电荷，所以“该曲面包裹住的电荷”也为0。等式成立。

(2) 法拉第定律：
例子6：一圈闭合导线，环住了一块曲面 S ，则记这个曲线的位置为∂S ，那么经过∂S 的电场 E的环量其实就是导线内的电势（电压）。垂直于 S 通过一些磁场 B ，则通过 S 的磁通量不为0。然而此时导线内并没有电流，也就是说，并没有电压，“闭合曲线 ∂S的环量”为0。这是很显然的，因为磁通量并没有变化，没有电磁感应，换句话说，“曲面 S上的通量的变化率”为0。
例子7：这个时候我突然增加磁场，所以磁通量变大了，“磁通量的变化率”为正，不为0。因此，等式的左边“闭合曲线 ∂S 的环量”也为正，不为0，也就是说，导线内产生了一些电压，继而产生了一些感应电流。这正是大家熟悉的法拉第电磁感应。
例子8：如果我不是增加磁场，而是减小磁场，那么磁通量变小了，“磁通量的变化率”为负。那么等式左边“闭合曲线 ∂S 的环量”也获得了一个负号，换句话说，感应电流的方向反了过来。

(3) 高斯磁定律：
例子9：随便选择一个闭合曲面，整个曲面上的磁通量一定为0。这和电场的情况迥然不同，因此说明，不像有可以产生电场的“电荷”，这个世界上是没有能单独产生磁场的“磁荷”（也就是“磁单极子”）的。

(4) 安培-麦克斯韦定律：
例子10：假设我们有一个电流 I ，以其为轴作一个圆，把这个圆称为 S，那么 ∂S就是这个圆的边缘。这个电流 I产生了一些磁场，（按照右手定则）绕着导线。显然磁场线和 ∂S都是“绕着导线”，方向一致，所以“闭合曲线∂S 的环量”是个正数，不为0，而“该曲线环住的电流”为 I，也不为0。
例子11：假设我们改变电流方向，即把 I变成 -I ，那么所有的磁场线方向都反过来了， ∂S 的环量也因此获得了一个负号，所以“闭合曲线∂S 的环量”和“该曲线环住的电流”均获得一个负号。等式再一次成立。
例子12：和高斯定律很像，我们随便怎么改变这一个环的大小、面积，只要环住的电流不变，算出来的环量都不会变（尽管可能会非常难算）。而若电流在这个环外面，尽管仍然有磁场存在，但在计算环量时相互抵消，使得等式两边都变成0。
例子13：“变化的电场产生磁场”（即第二项）的例子非常难找，这也正是安培当年没有自己发现、非要等到麦克斯韦帮忙才发现的原因。我这里不妨不再细述，读者只要接受这个设定就好。有兴趣的读者可以自己思考一个这种情况的例子。
最后，还记得我们之前说过“保守力场的任意环量都为0”吗？显然，要想让磁场的环量为0，那就只能既没有电流（方程(4)中的第一项），也没有变化的电通量（第二项），那么磁场只能为0。换言之，任何磁场都不是保守力场。想让电场的环量为0还比较简单，只需要令磁通量不变（方程(2)）就好了。换言之，只有在静电学（电磁场均静止不变）中，静电场才是保守力场。