科普——张量：理解相对论的必备语言 (上)（转）

0) 开篇语
今天来聊一个相当抽象的数学语言，
名曰张量 (Tensor)。
学过弹性力学的同学，
必定在它的淫威下瑟瑟发抖过。
(当年老夫也是瑟瑟发抖的小虫子之一)
但如果张量只是在
弹性力学这种无聊的学科中鬼混，
那实在是屈了它的经天纬地之才。
它应该活跃在一些更有意思的地方，
比如相对论 (Relativity)。
当你想学一点真正的相对论时，
你就会发现，张量是个躲不过的劫。
比如爱因斯坦场方程就是一个张量方程

刚才老夫强调“真正的”相对论，
就是想告诉在座各位，
你们所理解的相对论，
绝大多数，虽然不能说是假的，
但一定不是最本质的部分。

所以，在开讲张量这个神器之前，
老夫要先来说说，何谓真正的相对论。
(本文只讨论狭义相对论)

1) 物理定律与参考系
其实相对论的真髓，两句话就能说完。
这两句话就是写在中学物理课本里的
狭义相对论的两条基本假设：
第一条：
所有惯性系中，物理定律具有相同形式。
第二条：
所有惯性系中，真空中的光速都相同。
(也就是传说中的光速不变原理)
当然，不出意外的话，
各位能记得的多半只有第二条，
因为它和时空直接相关，
而时空问题向来是民科和中二少年的乐土。
他们喜欢凑在一起(鸡同鸭讲地)争论
双生子佯谬、车库佯谬之类的
业余票友级别的饭桌话题；
或者“超过光速时间会倒流”之类的
流传于中老年朋友圈的鬼话。
当然，记性好些的会记得
好像有个 E=mc^2 也和相对论有关；
记性再好些的，兴许还会记得
钟慢效应、尺缩效应、同时性，
和几个不知道有何意义的计算公式。
但是，如果把前面提到的两条假设
看作支撑相对论伟岸身躯的两条腿的话，
那么对于相对论的以上这些认识，
大约能算得上是其中那条“右腿”上面
几根比较显眼的腿毛吧……
(罪过罪过，我一时想不出更好的比喻了)
请问，只看到相对论几根腿毛的诸君，
你们真的满足吗？
所以现在我们说回正题：
真正的相对论到底在讨论什么？
上面提到的“两条腿”当然都很重要，
“右腿”上纹着的光速不变原理
直接和时空的结构相关，
但依老夫之愚见，
更能道出狭义相对论本质的，
是“两条腿”中经常被无视的“左腿”：
所有惯性系中物理定律具有相同形式。

这句话实在太不起眼，
不像光速不变假设那样充满离奇色彩，
让民科和中二少年展开想象自由发挥。
它看起来更像是一句可说可不说的废话，
因为物理定律在不同参考系下相同，
似乎本应是一件理所当然的事情。
比如一个各位都十分熟悉的例子：
在匀速行驶的火车上做牛二定律实验，
那么在经典力学体系下，
无论是火车上的人，还是站台上的人，
去观察实验结果，都能得出 F=ma。

但是接下来老夫要抛出另一个问题，
这个问题中，我们将看到一丝不寻常。
这是个中学物理level的电磁学问题：
你坐在咖啡馆里无聊发呆，
有位老司机开着车从咖啡馆前匀速驶过，
车里有一个带电小球。

以上为背景，现在来思考问题。
在你的参考系里，你会发现：
根据库仑定律，带电小球会产生电场，
同时，由于带电小球相对你运动，
它的运动本身会产生电流，
并且电场强度会随它的运动发生变化，
而根据麦克斯韦-安培定律，

电流和变化电场会产生磁场，
于是你身边除了电场，还有磁场出现。
现在我们把话筒交给开车的老司机，
来问问他怎么看待小球周围的场。
由于带电小球和他同车而行，
所以在他的参考系里带电小球是静止的，
那么小球周围只会产生一个静电场，
而静电场并不会激发磁场。

现在我们来理清思路：
首先，两个参考系都认为，
带电小球产生了某种场，
这是同一个物理现象。
但是在你的咖啡馆参考系中，
这个现象需要
库仑定律和安培定律同时描述，
而在老司机的参考系中，
只需要一个库仑定律即可描述。
现在意识到问题的严重性了吗：
同一个物理现象，在不同参考系中
表现成了不同形式的物理定律！
这是一件缺乏简洁美的事情。
(物理理论中审美是很重要的)
而相对论的基本假设怎么说的来着？
所有惯性系中物理定律具有相同形式。
所以，这个矛盾该怎么解决？
如果我们妄想拿相对论开刀，
那99.999999%的概率是死路一条。
所以我们不妨先冒昧揣测，
两个参考系中出现的物理定律，
其实是具有相同形式的。
或者说得更本质一点，
电场和磁场其实是某个神秘物理量
在不同参考系下的不同表现形式。
如果能找到这个神秘物理量，
通过它将电场和磁场统一在一起，
则两个参考系中看似不同的物理定律，
就能统一到一个物理定律的形式下面了。
而电磁场背后的那个神秘物理量，
即是电磁张量 (electromagnetic tensor)
至此，本文主角终于隆重出场，
(此处应有一段气势宏大的背景音乐，
比如老夫个人比较推荐
柴可夫斯基钢协一第一乐章
或者贝多芬钢协四的第三乐章)
我们可以来介绍一下
这个让人期待已久的主角了。

2) 初窥张量：一张不友好的苦瓜脸
前文我们猜测，
电场和磁场可能是同一个神秘物理量
在不同参考系下的不同表现形式。
这个神秘物理量即是电磁张量。
倘若理解了它，所有电磁学定律
都将统一成一个简单优雅的形式，
it sounds like a good news.
那么接下来就该见识一下，
这个张量究竟是何物了。
我们不妨先带着一丝憧憬和期待，
来看看张量的官方定义：

看完这个，是不是突然开始怀疑人生？
等我们未来了解到不变量思想的时候，
会体会到这个官方定义有多么自然和谐。
但各位现在的感受，
可能更像是对第一次date期待了多日，
见面却发现那个梦里出现过无数次的网友
居然长得像小学时那个更年期教导主任，
有没有这种感觉？

请勿惊慌，作为一名宅心仁厚的慈祥大叔，
老夫怎会用如此不人道的方式来讲课？
所以，现在请各位先忘记官方定义，
随老夫学学王阳明格竹子的功夫，
先来格一块平淡无奇的木板。

3) 一块平淡无奇的木板
假设我们有一块正方形木板，
木板中央有一只蚂蚁，
对于它而言，木板实在太大，
大到它已经看不到木板的边界。
此为背景。
现在，在木板四条边上施加均匀的力，
比如横向的拉力和纵向的压力。
(材料力学将这种均匀施加的力叫做均匀载荷)

那么木板在载荷作用下将发生均匀形变。
(木板形变图：蓝色为变形前，红色为变形后)

现在，如果你是那只看不见边界的蚂蚁，
你会怎么判断木板形变的状态？
(此处留一分钟时间给各位思考)
也许有人已经想到了，
一个很值得尝试的办法就是
在自己脚下画一个正方形格子，
格子边界正好和木板边界平行，
于是当木板发生形变时，
小方格的尺寸也会随木板一起变化。

上面左图为变形前的木板和中央小方格，
右图为变形后的木板和中央小方格。
这里插播一条材料力学术语：
我们假设木板原来的长度为 L ，
它在均匀载荷作用下，
沿着横向(记为 x 方向)变化了△Lx ，
沿着纵向(记为 y 方向)变化了 △Ly 。
我们将变化量与原长的比例记为：

它们在材料力学上分别被称作
x 方向和 y 方向上的正应变。
由于木板的形变是处处均匀的，
因此中央的小方格尺寸的正应变
也分别为 Sx 和Sy
(也就是尺寸变化的比例是一样的 )
于是，通过小方格的尺寸变化，
似乎就能算出整个木板的形变状态了。

但是，也许有同学已经想到了，
这个办法并没有那么容易实现，
因为对于木板中央的蚂蚁而言，
它有个很大的局限：看不见木板边界。
这意味着它画的小方格不一定和边界平行。
试想一下，如果它的方格画偏了，
画成了一个与木板边缘成45度夹角的样子，
那么木板发生形变后，小方格会怎么变化？
它会发现，这样的情况下，
小方格不仅长度发生了变化，
原本相互垂直的相邻两条边的夹角
也发生了变化，不再是直角，如下图：
(左图为变形前，右图为变形后)

这里再插播一条材料力学术语：
在不追求严格定义的情况下，
小方格相邻边的夹角变化，
可称作 xy 平面上的切应变，记为 Sxy 。
也就是说，
如果小方格的边缘与木板边缘不平行，
那么它会同时发生
正应变(尺寸变化)和切应变(夹角变化)。
而我们不难想象，随着小方格方向的变化，
正应变和切应变的大小也会发生变化，
45度的小方格还算是比较好的情况，
因为它毕竟还能形成一个对称的菱形，
如果是其他角度的小方格，
形变后通常会变成更一般的平行四边形，
不经计算看不出任何有意义的规律。
所以这只看不见木板边缘的可怜的蚂蚁，
大概还要经过很多次试错，
才能恰好找到那个只有正应变的方格。
我们也没时间去陪它寻找合适的小方格了，
且让它在那里自生自灭吧。
而我们还是回到本文的主题：张量。

4) 再谈张量
刚才我们讨论了两个问题。
第一个是运动带电小球的问题：
当带电小球随车匀速驶过时，
你所在的咖啡馆参考系中，
带电小球同时产生了电场和磁场，
而与车相对静止的老司机参考系中，
带电小球只产生了电场。
不同的参考系下，观察到了不同的电磁场。
第二个是木板变形的问题：
对于那些不与木板边缘平行的小方格，
木板变形会同时引起正应变和切应变，
而只有当小方格恰好与木板边缘平行时，
切应变才会消失，只剩下正应变。
不同的方格方向，展现出不同的形变状态。
各位有没有感觉到，
这两个物理上八辈子扯不上关系的问题，
似乎又隐约有些神似之处？
其实它们在数学层面上并无本质区别，
幕后都是那只看不见的黑手：张量。
无论是惯性参考系的不同，
还是木板上画小方格的不同，
在数学上都可以理解为坐标系选择不同。
只不过木板上的小方格方向
对应着平面上的二维直角坐标系，
而相对运动的惯性参考系，
对应着三维空间基础上多出一个时间维度的
四维时空坐标系而已。

那张量是什么呢？
张量可以直观地理解为这样一种量：
一个本身不随坐标系改变、
但是其“投影”会随坐标系改变的量，
而“投影”变化满足统一的数学规律。
在木板形变的例子中我们知道，
木板本身的形变状态
与小方格的方向并无半毛关系，
但是它在不同方格上却有着不同的体现。
在弹性力学中，
木板本身的形变状态，就称作“应变张量”。
它本身不随坐标系(方格)的改变而改变；
但应变张量在不同方格上表现出不同形态，
这在数学上就意味着，
它在不同参考系中有不同的“投影”。
这里剧透一下，
它的“投影”可以写成矩阵形式：

以后我们将从数学上解释，
当我们取的小方格不平行于木板的时候，
应变张量的“投影”矩阵中
对应着切应变的出现。
再回到电磁场的例子，
我们无法从变换的电磁场背后
看到那个不随参考系变化的电磁张量，
就像蚂蚁看不到木板的应变张量一样。
但我们能在不同参考系中
观察到它的“投影”：电场和磁场，
就像蚂蚁用不同的小方格观察
应变张量在不同方向的“投影”一样。
这里再次剧透：
电磁张量的“投影”同样有矩阵形式：

我们同样会在以后从数学上解释，
在相对于带电小球运动的参考系中，
为什么会出现磁场的分量。

5) 再聊：相对论在说什么？
刚才，我们通过一块木板形变的类比，
粗略理解了不同参考系下电磁场不同
这个诡异现象背后的数学本质：
就是肉眼凡胎所不能见的电磁张量。
现在我们趁热打铁，再来悟一悟相对论。
再来回顾一下狭义相对论的“左腿”：
物理定律不随参考系变化
老夫在本文开头提到过，
想真正理解相对论的人，
都必须渡过张量这个躲不开的劫。
现在诸君算是对张量有些模糊认识，
我们也就能坐下来聊一聊相对论的本质了。
在相对论的数学体系下，
一切物理定律都可以写成
两个张量相等的形式，
(请注意，是一切物理定律)
我们将其记为粗体字母
而我们刚才已经知道，
张量本身是不随参考系变化的，
这也就意味着，

在所有参考系中，
都代表着同一个物理定律。
但遗憾的是，
我们的肉眼凡胎无法直接观测张量的真身，
只能观测到它们变化的“投影”，
(比如本文例中的电磁场变化)
虽然上面说的等式
在所有参考系中都成立，
但 A和 B 的“投影”的变化，
会让这个等式在不同参考系中
体现出不同形式，
所以我们会看到不同参考系中
似乎出现了不同的物理定律。
但如果在四维时空框架中，
用张量的形式去看，

这个数学形式其实是不变的。
这就是狭义相对论那条“左腿”的数学表述。
其实物理学的最大魅力就在于，
它能将看似复杂又诡异的各种现象
统一成一个简洁优雅的数学形式。
自牛顿力学创立以来，
这条原则都一直指引着物理学的发展方向。
说到这里可能感觉越来越抽象，
没关系，本文会有一个下篇
专门来聊具体的数学形式。
等各位在本文的下篇中见到它时，
就会恍然大悟了。
这里顺便说一句，
不同参考系之间变换的那条数学规则，
恰好来源于狭义相对论的那条“右腿”：
所有惯性系中，真空中的光速都相同。
由它出发，可以找到时空的结构，
而时空的结构决定了
参考系之间的变换法则，这个法则叫做：
“洛仑兹变换”(Lorentz Transform)
今后老夫会另写一篇科普文来介绍。
总之，光速不变原理绝不是用来研究
双生子、车库佯谬这类业余票友话题，
它背后隐藏的是整个时空的样子。

6) 结束语
本文的上篇(也是普及篇)到此便结束了。
还是老规矩，有数学恐惧症的同学，
只需通过木板上的应变张量
与时空中的电磁张量之间的类比，
隐约感受一下变幻的电磁场诸相背后
那个不随参考系变化的神秘BOSS，
由此体会一下相对论第一条假设的神奇，
就可以回家该吃吃该喝喝了。
而希望真正见识物理定律的张量形式、
并且愿意被数学虐到体无完肤的同学，
请随老夫一起进入本文的下篇(进阶篇)。
在那里我们要先去会一会
线性代数课里认识的两位故友，
并通过它们来了解张量分量的变换规则；
然后我们将用张量变换来解释
木板上不同小方格取向体现出的不同应变；
接下来，我们将进入四维时空，
用电磁张量来解释
不同参考系下的电磁场变化；
最后，我们会把那个
被很多人奉为最优美方程的
麦克斯韦方程组做一些改造，
使它在改造中升华成另一种形式，
一种比原来简洁和优雅千万倍的形式，
并且最终用它来解释带电小球问题，
从数学上完整地体验一次，什么叫做
“物理定律不随参考系变化”。
那是一个更奇幻也更绚丽的世界。
老夫在下篇中等着各位：

上篇完结，撒花

才完结一半就撒花