【数学精讲】每日一题

【11.9】
①这是一道基本不等式的中档题。
本题需要学生的一点整体思维和对式子结构的分析能力。
还记得我说过的吗？做题前一定要分析题目，有了思路再下笔。
这道题目非常鲜明的给出了xy大于零，说明我们应该不必过多考虑取值问题，所以我们直接放眼到所给式。
该式结构十分有特点，出现了（x+y）和xy两个部分。学过基本不等式的我们不难想到这两部分的联系就是（x+y）²≥4xy。
那么我们也就有想法了，我们就像以前合并同类项那样，把这两部分分离到等式左右两边，然后就有了如下式子xy＝2-（x+y）。
那么接下来的操作就很简单了，有（x+y）²/4≥xy＝2-（x+y）
合并同类项，则有
（x+y）²+4（x+y）-8≥0。
该式子形如ax²+by+c，所以可以使用一元二次不等式的解法得到（x+y）取值范围吧？
利用求根公式，我们解出（x+y）取值范围应当是（-∞，-2√3-2】∪【2√3-2，∞）
因为x，y＞0，所以我们只看右边。
故最小值为2√3-2，所以答案选c。

【11.9】
②一道解析几何简单题，但有些人可能脑袋转不过弯想不出来。
本题需要用到圆的对称性和圆点关系的判定等知识点。
第一步，分析题目条件。
首先我们把圆的一般式方程化为标准方程，即（x-1）²+（y+2）²＝625
然后代入a点，发现其大于零，小于625，故a在圆内，且不与圆心重合。
第二步，思考解法。
他问我们的问题是，过点a的整数弦有几条。
这其实本质是哪一类数学问题？显然是取值问题吧。取值问题本质又是什么？不就是最值问题吗？所以我们只需要把过点a的最弦求出来不就可以了吗？
过点a最大的弦是直径，即50，最短的弦是与直径垂直的那条。我们来简单算一下。圆心到a的距离是24，勾股定理算得弦半是7，所以最短弦长是14。
所以我们得到了过a的弦的取值范围为【14，50】，14到50之间有35个整数，因为圆的对称性，所以这之间35个整数弦都有两条。
所以总共有35*2+2＝72条整数弦。
故选b

【11.9】
③一道初中二次函数难题
我们当然不是用几何方法去解决他，今天我们来用解析法简便无脑的算出p点的坐标。以向大家展示一下解析几何的美。
首先分析问题。
该题要求我们求出满足夹角条件的p点坐标。并且给出大量条件。我们通过解析法解决的话，题目条件翻译过来就是求满足一定斜率的坐标。
那么总的思路就很清晰了，就是利用倒角公式k3＝（k1-k2）/（1-k1k2）的绝对值来刻画p点。
那么我们先通过斜截式方程，得到c点坐标（0，2）。随后可知k1＝1/2。还记得解析几何的标准第一步骤吗？设！设p（x，y），并且x＞0。
那么k2就是（y-2）/x
整理就得到了（x-y+2）/（2x-y+2）的绝对值＝1这样一个关键条件。
在通过抛物线解析式，我们可以把关键条件变成一元。即（2x²-6x）/（-x²+11/2.x）的绝对值＝1。
因为含有二次项，平方消元比较麻烦，所以我们选择分类讨论。
我们可以得到两个对称轴分别是3/2和11/4。
当x小于3/2时，有6x-2x²＝-11/2+x²
可以解出两个根，一个是23/6，一个是0（舍去）。
再通过抛物线解析式，我们就得到了一个p的坐标了，即（23/6，13/18）。
因为当x大于3/2，小于11/4时，是同正的，和同负讨论相同，所以直接看大于11/4时。
这时可以解出另一个p坐标应该是（1/2，7/2）
故满足条件的p坐标就解完了。
p1（23/6，13/18）
p2（1/2，7/2）
是不是十分暴力简单？

【11.9】
④妙证圆的内切三角形中正三角形面积最大
本题展现数学的一种特殊思维方式，叫逆向思维。
比如这道题，我们要证明圆的所有内切三角形中正三角形面积最大，那么我们看看所有等面积的三角形中，谁的外切圆最小不就可以了吗？
对于圆内接三角形，存在等式s＝abc/r，因为三角形s一定，所以当abc最大时，r有最小值，即外切圆最小，由三元均值不等式易知，当abc相等时，abc有最大值，所以在所有等面积三角形中，正三角形外接圆最小。故我们可以得到，在一个圆的所有内切三角形中，正三角形面积最大。
怎么样，是不是很奇妙？