高等数学吧 关注：471,870贴子：3,871,938
- 5回复贴，共1页
傅里叶积分变换要求函数是绝对可积的原因是为了保证积分的收敛性和可计算性。如果函数不是绝对可积的，可能会导致积分发散或者不收敛，从而无法进行傅里叶变换。而绝对可积函数是一类比较广泛的函数，它们满足积分存在且有限，这保证了傅里叶积分变换的收敛性和可计算性。因此，傅里叶积分变换里面要求函数是绝对可积的。
是的，对于一个绝对可积的函数f(x)，它的傅里叶变换F(k)在复平面上的积分路径可以任意取。我们可以将积分路径分为两段，一段是从负无穷走到0，另一段是从0走到正无穷。因为f(x)是绝对可积的，所以它的绝对值在整个实轴上都是可积的，即：
∫−∞∞∣f(x)∣dx<∞
因此，我们可以使用瑕积分的性质，将积分路径从实轴上的任意一条曲线改为上半平面的半圆弧和下半平面的半圆弧，这样可以避免穿过奇点。根据瑕积分的定义，当积分路径趋近于奇点时，积分值趋近于0。因此，当我们将积分路径从实轴上的两段改为半圆弧时，积分值的差为0。这意味着，我们可以将积分路径从负无穷到正无穷改为从负无穷到0和从0到正无穷两段，而这两段的积分值相等，都等于F(0)。因此，我们可以得到：
∫−∞∞f(x)e−ikxdx=∫−∞0f(x)e−ikxdx+∫0∞f(x)e−ikxdx=F(0)+F(0)=2F(0)
其中F(0)表示f(x)的傅里叶变换在k=0处的值。因此，当f(x)是绝对可积的时，f(x)*exp(-ikx)从负无穷到正无穷的差为0。
是的，对于一个绝对可积的函数f(x)，它的傅里叶变换F(k)在复平面上的积分路径可以任意取。我们可以将积分路径分为两段，一段是从负无穷走到0，另一段是从0走到正无穷。因为f(x)是绝对可积的，所以它的绝对值在整个实轴上都是可积的，即：
∫−∞∞∣f(x)∣dx<∞
因此，我们可以使用瑕积分的性质，将积分路径从实轴上的任意一条曲线改为上半平面的半圆弧和下半平面的半圆弧，这样可以避免穿过奇点。根据瑕积分的定义，当积分路径趋近于奇点时，积分值趋近于0。因此，当我们将积分路径从实轴上的两段改为半圆弧时，积分值的差为0。这意味着，我们可以将积分路径从负无穷到正无穷改为从负无穷到0和从0到正无穷两段，而这两段的积分值相等，都等于F(0)。因此，我们可以得到：
∫−∞∞f(x)e−ikxdx=∫−∞0f(x)e−ikxdx+∫0∞f(x)e−ikxdx=F(0)+F(0)=2F(0)
其中F(0)表示f(x)的傅里叶变换在k=0处的值。因此，当f(x)是绝对可积的时，f(x)*exp(-ikx)从负无穷到正无穷的差为0。
