求求各路神仙

x->0
分子
e^(111x)-1 ~ 111x
1-(cosx)^6 ~ 1 -[1- (1/2)x^2]^6 = 3x^2
arcsin(2x)~ 2x
ie
分子 ~ 1332x^5
///
分母
[e^(2x) +1]/2 ~ 1+x
{ [e^(2x) +1]/2 }^(sin2x)
~{ [e^(2x) +1]/2 }^(2x)
~(1+x)^(2x)
~e^(2x^2)
{ [e^(2x) +1]/2 }^(sin2x) -1 ~ 2x^2
e^x - e^ln(1+x)
~e^x - e^[x-(1/2)x^2]
=e^x .{ 1 -e^[-(1/2)x^2] }
~ (1/2)x^2
ln[e^(2x)+x] ~ln(1+3x) ~3x
分母 ~ 3x^5
原式
=lim(x->0) 1332x^5/(3x^5)
=444

看起来复杂罢了，就是几个等价代换