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设一个基本案例。
比如n=1。
此时n! < n^k。
当 n 变大时，n!（即 1×2×3×…×n）的增长速度超过 n^k。因为每增加一个 n，阶乘n! 乘以 n，而 n^k 则乘以一个小于 n 的值（因为 k 是固定的）。
假设对于某个 n，n!>n^k。
那么对于 n+1，我们有(n+1)!=(n+1)×n!。
由于 n!>n^k，我们可以推断 (n+1)!>(n+1)×n^k。
由于n+1>n，所以 (n+1)×n^k>n^(k+1)。
因此，(n+1)!>n^(k+1)。
根据上述证明，对于任何给定的实数 k，总会存在一个足够大的实数 n，使得n!>n^k
比如n=1。
此时n! < n^k。
当 n 变大时，n!（即 1×2×3×…×n）的增长速度超过 n^k。因为每增加一个 n，阶乘n! 乘以 n，而 n^k 则乘以一个小于 n 的值（因为 k 是固定的）。
假设对于某个 n，n!>n^k。
那么对于 n+1，我们有(n+1)!=(n+1)×n!。
由于 n!>n^k，我们可以推断 (n+1)!>(n+1)×n^k。
由于n+1>n，所以 (n+1)×n^k>n^(k+1)。
因此，(n+1)!>n^(k+1)。
根据上述证明，对于任何给定的实数 k，总会存在一个足够大的实数 n，使得n!>n^k
实数n？是自然数n吧。其实是存在一个m使得任意n≥m，都有n!>n^k。不过先证明楼主这个吧
在k≤0的时候，任何n都能满足要求（0^0除外）
k>0，令n=2ceil(k)，两边取对数得∑ln(i)（i=1,n）和klnn
因为ln(n)是下凸函数，所以
∑ln(i)（i=1,n）>½nln(n+1)≥kln(n+1)>klnn
因此，存在这样的n
在k≤0的时候，任何n都能满足要求（0^0除外）
k>0，令n=2ceil(k)，两边取对数得∑ln(i)（i=1,n）和klnn
因为ln(n)是下凸函数，所以
∑ln(i)（i=1,n）>½nln(n+1)≥kln(n+1)>klnn
因此，存在这样的n
n>3k+1时，(n-k)*(n-2k+1)>n
所以n/(n-k)< n-2k+1< n-2k+2< …
(n/n-k)^k< (n-2k+1)*(n-2k+2)*…*(n-k)
而(n-k)^k< (n-k+1)*(n-k+2)*…*n
相乘得到n^k< (n-2k+1)*…*(n-1)*n
所以n^k< n!
所以n/(n-k)< n-2k+1< n-2k+2< …
(n/n-k)^k< (n-2k+1)*(n-2k+2)*…*(n-k)
而(n-k)^k< (n-k+1)*(n-k+2)*…*n
相乘得到n^k< (n-2k+1)*…*(n-1)*n
所以n^k< n!
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