顶一个，有没有大佬能说一下这个问题在数列为整数，有理数和实数时分别是怎么样的

感觉这个和阶有点关系？

设等差数列AP的公差为d，等比数列GP的公比为q，这两个公共数列有公共项a (在等比数列中一定非0)，下一公共项a*q^m=a+nd，则q^m-1=n*d/a，m,n都是正整数
然后按q分类，若q是大于1的正整数，则d/a一定是正有理数，设既约分子为s，既约分母为t，要使q^M-1=N*s/t，由于N*s/t是整数，为s的倍数，所以s|q^M-1，再令M=t*(q^M-1)/s，即有解，m为最小解说明M=m是使s|q^M-1的最小的正整数，则所有满足s|q^M-1的M均为m的倍数，即解为M=m,2m,…，所有公共项在GP中的序数差等差数列，则公共项成等比
若q是小于-1的负整数，则d/a为非零有理数且q^m-1正负交替，N*d/a单调不变号，使q^M-1=N*d/a的M一定均为奇数或均为偶数，若为奇数则方程等价于(-q)^M+1=N*|d/a|，即|d/a|的既约分子s|(-q)^M+1，可知最小解M=m，则解为M=m, 3m,…，公共项成等比，若为偶数则等价于(-q)^M-1=N*|d/a|，与q为正整数时的方程有相同结果
若q等于1，当且仅当d=0时有其他公共项，为常数列
若q=-1，仅d=0时有超过两项公共项，此时为常数列

用到和阶有关的就是，若(q,s)=1，使s|q^M-1的最小的M为m，则当且仅当M=km时s|q^M-1，k为正整数
使s|q^M+1的最小的M为m'，则当且仅当M=(2k-1)m'时s|q^M+1，k为正整数
可以先证明(a^m-1,a^n-1)=a^(m,n)-1，然后证明这两个结论

若q是不为整数的有理数，q^M-1=N*d/a应该只有有限组解，因为若有解，右边一定是有理数，左边的既约分母不断增大，右边则有上界，至于这些解是不是等比…
至于q是无理数…

q为无理数时公共项是不成等比的，而且任意三项不成等比，假设有成等比的某三项a，a*q^m=a+nd，a*q^(2m)=a+Nd，
q^m-1=n*d/a，q^(2m)-1=N*d/a，两式相除得到q^m+1=N/n是有理数，矛盾
不过q为无理数时会不会有无穷多公共项，应该可以继续讨论