查了查

这个问题似乎被巧妙地化为了去求

原贴层主后来修改了答案，好像有一步有问题，应该是 ∏(x/p) ≡ ∑(x/p) -(p-3)/2 (mod 4)
因为对两个奇数a, b，4 ℓ (a-1)(b-1)，所以ab≡a+b-1(mod 4)
对k个奇数 a₁a₂…a(k) ≡ a₁a₂…a(k-1)+a(k)-1 ≡ … ≡ a₁+a₂+…+a(k)-(k-1) (mod 4)
再往后的过程，当p≡3(mod 4)时，(2/p)≡(p+3)/2 (mod 4)
代入类数公式 ∑(x/p) = [2-(2/p)]*h
得到 ∏(x/p)≡∑(x/p) -(p-3)/2 ≡[2-(2/p)]h -(p-3)/2 ≡ h*(1-p)/2-(p-3)/2 ≡(h+3)/2-p(h+1)/2 (mod 4)
因为p≡3(mod 4)时h是奇数，(h+1)/2是整数，所以 (h+3)/2 -p(h+1)/2 ≡(h+3)/2+(h+1)/2 ≡h+2 (mod 4)
也就是 ([(p-1)/2]! /p)≡∏(x/p)≡h+2 (mod 4)
则 ([(p-1)/2]! / p) = (-1)^[(h+1)/2]
再用威尔逊定理的推论[(p-1)/2]!²≡(-1)^[(p+1)/2] (mod p)
p≡3(mod 4)时 [(p-1)/2]! ≡ ±1 ≡([(p-1)/2]! / p) (mod p)
得到 [(p-1)/2] ! ≡ (-1)^[(h+1)/2] (mod p)

在这个贴子，这层楼层主后来说下面的那个答案才是对的
对大于3的4k+3形素数p，当h≡3(mod 4)时(p-1)/2 ! ≡1(mod p)，当h≡1(mod 4)时 (p-1)/2 ! ≡-1(mod p)
h是Q(√-p)的类数，计算也不容易
原贴链接
https://mathoverflow.net/questions/16141/primes-p-such-that-p-1-2-1-mod-p