学习篇

【 数学】【 高中，全部，公式 】

高中的数学公式定理大集中
三角函数公式表
同角三角函数的基本关系式   
倒数关系: 商的关系： 平方关系：   
tanα ·cotα＝1  
sinα ·cscα＝1  
cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα  
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1  
1＋tan2α＝sec2α  
1＋cot2α＝csc2α   
（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”）   
   
诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）   
sin（－α）＝－sinα  
cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα  
cot（－α）＝－cotα   
   
sin（π/2－α）＝cosα  
cos（π/2－α）＝sinα  
tan（π/2－α）＝cotα  
cot（π/2－α）＝tanα  
sin（π/2＋α）＝cosα  
cos（π/2＋α）＝－sinα  
tan（π/2＋α）＝－cotα  
cot（π/2＋α）＝－tanα  
sin（π－α）＝sinα  
cos（π－α）＝－cosα  
tan（π－α）＝－tanα  
cot（π－α）＝－cotα  
sin（π＋α）＝－sinα  
cos（π＋α）＝－cosα  
tan（π＋α）＝tanα  
cot（π＋α）＝cotα  
sin（3π/2－α）＝－cosα  
cos（3π/2－α）＝－sinα  
tan（3π/2－α）＝cotα  
cot（3π/2－α）＝tanα  
sin（3π/2＋α）＝－cosα  
cos（3π/2＋α）＝sinα  
tan（3π/2＋α）＝－cotα  
cot（3π/2＋α）＝－tanα  
sin（2π－α）＝－sinα  
cos（2π－α）＝cosα  
tan（2π－α）＝－tanα  
cot（2π－α）＝－cotα  
sin（2kπ＋α）＝sinα  
cos（2kπ＋α）＝cosα  
tan（2kπ＋α）＝tanα  
cot（2kπ＋α）＝cotα  
(其中k∈Z)   
   
   
两角和与差的三角函数公式 万能公式   
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ  
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ  
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ  
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ  
tanα＋tanβ  
tan（α＋β）＝——————  
1－tanα ·tanβ  
tanα－tanβ  
tan（α－β）＝——————  
1＋tanα ·tanβ   
2tan(α/2)  
sinα＝——————  
1＋tan2(α/2)  
1－tan2(α/2)  
cosα＝——————  
1＋tan2(α/2)  
2tan(α/2)  
tanα＝——————  
1－tan2(α/2)  
   
   
半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式   
   
   
二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式   
sin2α＝2sinαcosα  
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α  
2tanα  
tan2α＝—————  
1－tan2α  
sin3α＝3sinα－4sin3α  
cos3α＝4cos3α－3cosα  
3tanα－tan3α  
tan3α＝——————  
1－3tan2α  
   
   
三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式   
α＋β α－β  
sinα＋sinβ＝2sin———·cos———  
2 2  
α＋β α－β  
sinα－sinβ＝2cos———·sin———  
2 2  
α＋β α－β  
cosα＋cosβ＝2cos———·cos———  
2 2  
α＋β α－β  
cosα－cosβ＝－2sin———·sin———  
2 2 1  
sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]  
2  
1  
cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]  
2  
1  
cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]  
2  
1  
sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]  
2  
   
   
化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公

**、函数
** 简单逻辑  
任一x∈A x∈B，记作A B  
A B，B A A＝B  
A B＝{x|x∈A，且x∈B}  
A B＝{x|x∈A，或x∈B}  
card（A B）＝card（A）+card（B）－card（A B）  
（1）命题  
原命题 若p则q  
逆命题 若q则p  
否命题 若 p则 q  
逆否命题 若 q，则 p  
（2）四种命题的关系  
（3）A B，A是B成立的充分条件  
B A，A是B成立的必要条件  
A B，A是B成立的充要条件 

函数的性质 指数和对数  
（1）定义域、值域、对应法则  
（2）单调性  
对于任意x1，x2∈D  
若x1＜x2 f（x1）＜f（x2），称f（x）在D上是增函数  
若x1＜x2 f（x1）＞f（x2），称f（x）在D上是减函数  
（3）奇偶性  
对于函数f（x）的定义域内的任一x，若f（－x）＝f（x），称f（x）是偶函数  
若f（－x）＝－f（x），称f（x）是奇函数  
（4）周期性  
对于函数f（x）的定义域内的任一x，若存在常数T，使得f（x+T）＝f(x)，则称f（x）是周期函数 （1）分数指数幂  
正分数指数幂的意义是  
负分数指数幂的意义是  
（2）对数的性质和运算法则  
loga（MN）＝logaM+logaN  
logaMn＝nlogaM（n∈R）  


指数函数 对数函数  
（1）y＝ax（a＞0，a≠1）叫指数函数  
（2）x∈R，y＞0  
图象经过（0，1）  
a＞1时，x＞0，y＞1；x＜0，0＜y＜1  
0＜a＜1时，x＞0，0＜y＜1；x＜0，y＞1  
a＞ 1时，y＝ax是增函数  
0＜a＜1时，y＝ax是减函数 （1）y＝logax（a＞0，a≠1）叫对数函数  
（2）x＞0，y∈R  
图象经过（1，0）  
a＞1时，x＞1，y＞0；0＜x＜1，y＜0  
0＜a＜1时，x＞1，y＜0；0＜x＜1，y＞0  
a＞1时，y＝logax是增函数  
0＜a＜1时，y＝logax是减函数  
指数方程和对数方程  
基本型  
logaf(x)＝b f（x）＝ab（a＞0，a≠1）  
同底型   
logaf（x）＝logag（x） f（x）＝g（x）＞0（a＞0，a≠1）  
换元型 f（ax）＝0或f (logax)＝0


数列
数列的基本概念 等差数列  
（1）数列的通项公式an＝f（n）  
（2）数列的递推公式  
（3）数列的通项公式与前n项和的关系  
an+1－an＝d  
an＝a1+（n－1）d  
a，A，b成等差 2A＝a+b  
m+n＝k+l am+an＝ak+al  
等比数列 常用求和公式  
an＝a1qn＿1  
a，G，b成等比 G2＝ab  
m+n＝k+l aman＝akal  


不等式  
不等式的基本性质 重要不等式  
a＞b b＜a  
a＞b，b＞c a＞c  
a＞b a+c＞b+c  
a+b＞c a＞c－b  
a＞b，c＞d a+c＞b+d  
a＞b，c＞0 ac＞bc  
a＞b，c＜0 ac＜bc  
a＞b＞0，c＞d＞0 ac＜bd  
a＞b＞0 dn＞bn（n∈Z，n＞1）  
a＞b＞0 ＞ （n∈Z，n＞1）  
（a－b）2≥0  
a，b∈R a2+b2≥2ab  
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|  
证明不等式的基本方法  
比较法  
（1）要证明不等式a＞b（或a＜b），只需证明  
a－b＞0（或a－b＜0＝即可  
（2）若b＞0，要证a＞b，只需证明 ，  
要证a＜b，只需证明  
综合法 综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果）的方法。  
分析法 分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，直至所需的条件已知正确时为止，明显地表现出“持果索因”


复数
代数形式 三角形式  
a+bi＝c+di a＝c，b＝d  
（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i  
（a+bi）－（c+di）＝（a－c）+（b－d）i  
（a+bi）（c+di ）＝（ac－bd）+（bc+ad）i  
a+bi＝r（cosθ+isinθ）  
r1＝（cosθ1+isinθ1）•r2（cosθ2+isinθ2）  
＝r1•r2〔cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）〕  
〔r（cosθ+sinθ）〕n＝rn（cosnθ+isinnθ）  
k＝0，1，……，n－1 

解析几何  
1、直线  
两点距离、定比分点 直线方程  
|AB|＝| |  
|P1P2|＝  
y－y1＝k(x－x1)  
y＝kx＋b  
两直线的位置关系 夹角和距离  
或k1＝k2，且b1≠b2  
l1与l2重合  
或k1＝k2且b1＝b2  
l1与l2相交  
或k1≠k2  
l2⊥l2  
或k1k2＝－1 l1到l2的角  
l1与l2的夹角  
点到直线的距离  
2.圆锥曲线  
圆 椭   圆  
标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2  
圆心为(a，b)，半径为R  
一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0  
其中圆心为( ),  
半径r  
(1)用圆心到直线的距离d和圆的半径r判断或用判别式判断直线与圆的位置关系  
(2)两圆的位置关系用圆心距d与半径和与差判断 椭圆  
焦点F1(－c，0)，F2(c，0)  
(b2＝a2－c2)  
离心率  
准线方程  
焦半径|MF1|＝a＋ex0，|MF2|＝a－ex0  
双曲线 抛物线  
双曲线  
焦点F1(－c，0)，F2(c，0)  
(a，b＞0，b2＝c2－a2)  
离心率  
准线方程  
焦半径|MF1|＝ex0＋a，|MF2|＝ex0－a 抛物线y2＝2px(p>0)  
焦点F  
准线方程  
坐标轴的平移  
这里(h，k)是新坐标系的原点在原坐标系中的坐标。
1．**元素具有①确定性②互异性③无序性
2．**表示方法①列举法 ②描述法
③韦恩图 ④数轴法
3．**的运算
⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB
Cu(A∪B)=CuA∩CuB
4．**的性质
⑴n元**的子集数：2n
真子集数：2n-1；非空真子集数：2n-2
高中数学概念总结

八、 解析几何
1、 沙尔公式：
2、 数轴上两点间距离公式：
3、 直角坐标平面内的两点间距离公式：  
4、 若点P分有向线段 成定比λ，则λ=
5、 若点 ，点P分有向线段 成定比λ，则：λ= = ；
          =
              =     
    若 ，则△ABC的重心G的坐标是 。
6、求直线斜率的定义式为k= ，两点式为k= 。
7、直线方程的几种形式：
点斜式： ， 斜截式：
     两点式： ， 截距式：
    一般式：
        经过两条直线 的交点的直线系方程是：
8、 直线 ，则从直线 到直线 的角θ满足：
直线 与 的夹角θ满足：
直线 ，则从直线 到直线 的角θ满足：
直线 与 的夹角θ满足：
9、 点 到直线 的距离：
10、两条平行直线 距离是
11、圆的标准方程是：
圆的一般方程是：
其中，半径是 ，圆心坐标是
思考：方程 在 和 时各表示怎样的图形？
12、若 ，则以线段AB为直径的圆的方程是
     经过两个圆
，
的交点的圆系方程是：
     经过直线 与圆 的交点的圆系方程是：
13、圆 为切点的切线方程是
一般地，曲线 为切点的切线方程是： 。例如，抛物线 的以点 为切点的切线方程是： ，即： 。
注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。
14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：
     ①判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离；
     ②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。
15、抛物线标准方程的四种形式是：
16、抛物线 的焦点坐标是： ，准线方程是： 。
     若点 是抛物线 上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是： ，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是： 。
17、椭圆标准方程的两种形式是： 和
。
18、椭圆   的焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径的长是 。其中 。
19、若点 是椭圆   上一点， 是其左、右焦点，则点P的焦半径的长是 和 。
20、双曲线标准方程的两种形式是： 和
。
21、双曲线 的焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径的长是 ，渐近线方程是 。其中 。
22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是   。与双曲线 共焦点的双曲线系方程是 。
23、若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为     ；
     若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为       。   
24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有： 。
25、平移坐标轴，使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标是（h，k），若点P在原坐标系下的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ，则 = ， = 。

九、 极坐标、参数方程
1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是： 。
2、 若直线 经过点 ，则直线参数方程的标准形式是： 。其中点P对应的参数t的几何意义是：有向线段 的数量。
若点P1、P2、P是直线 上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则： ；当点P分有向线段 时， ；当点P是线段P1P2的中点时， 。
3、圆心在点 ，半径为 的圆的参数方程是： 。
3、 若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为 直角坐标为 ，则   ，   ， 。
4、 经过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程是： ，
经过点 ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是： ，
经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是： ，
经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是： 。
5、 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是 ；
圆心在点 的圆的极坐标方程是 ；
圆心在点 的圆的极坐标方程是 ；
圆心在点 ，半径为 的圆的极坐标方程是 。
6、 若点M 、N ，则   。


十一、比例的几个性质
1、比例基本性质：
2、反比定理：
3、更比定理：
5、 合比定理；
6、 分比定理：
7、 合分比定理：
8、 分合比定理：
9、 等比定理：若 ， ，则 。

十二、复合二次根式的化简
当 是一个完全平方数时，对形如 的根式使用上述公式化简比较方便。
⑵并集元素个数：
n(A∪B)=nA+nB-n(A∩B)
5．N 自然数集或非负整数集
Z 整数集 Q有理数集 R实数集
6．简易逻辑中符合命题的真值表
p 非p
真 假
假 真