我做了一个解答，这个是正确的吗

b[i]≤n+t/2 ×(∏b / b[i]) 是怎么得到的呢
有b[i]＞n的条件，不一定每个b[i]都能调整到较小一侧

用类似的做法，只证明了n=1时对任意k≥2，不存在满足题意的k个正整数a[1]~a[k]
做法在下面，应该没问题

假设存在正整数k≥2，使得存在k个正整数a[1]~a[k]满足∏(a[i]+1) | ∑a[i]²，i=1~k
设K是这样的正整数k中最小的，而且正整数c[1]~c[K]是满足∏(c[i]+1) | ∑c[i]²，i=1~K 且使 c[1]+c[2]+…+c[k] 最小的一组，c[1]≥c[2]≥…≥c[k]
若 ∑c[i]²=m∏(c[i]+1)，由条件m为正整数
令F(x)= x² -m∏(c[j]+1)*x +∑c[j]²-m∏(c[j]+1)，j=2~K
则F(c[1])=0，设F(x)=0另一个根为x=c'
由韦达定理 c'=m∏(c[j]+1)-c[1] 是整数
由于F(-1)=1+∑c[j]²＞0，x<0时F(x)单调递减，所以x≤-1时F(x)＞0
则由F(c')=0可得c'≥0
(1)假如c'=0，由F(0)=∑c[j]²-m∏(c[j]+1)=0可知
c[2]~c[K]这K-1个正整数满足 ∏(c[j]+1) | ∑c[j]²
如果K≥3，则K-1≥2，和K的最小性假设矛盾
如果K=2，则c[2]+1 | c[2]²，但c[2]+1＞1且和c[2]²互素，也不可能
(2)假如c'是正整数，则由F(c')=0可得
c'²+c[2]²+…+c[K]² = (c'+1)(c[2]+1)…(c[K]+1)
所以由c[1]+…+c[K]的最小性假设可知c'≥c[1]
则m∏(c[j]+1)≥2c[1]，c[1]≤m∏(c[j]+1)/2
由F(x)单调性可知，x≤c[1]时，F(x)单调递减
c[2]≤c[1]，则F(c[2])≥F(c[1])=0
也就是 c[2]²+c[2]²+…+c[K]² ≥ m(c[2]+1)(c[2]+1)…(c[K]+1) (*)
而(*)的左边≤Kc[2]²，右边≥2^(K-2)*(c[2]+1)²＞2^(K-2)*c[2]²，可得 K＞2^(K-2)，只可能K=2或3
K=3时，(*)化为 2c[2]²+c[3]²≥m(c[2]+1)²(c[3]+1)
若c[3]≥2，右边≥3(c[2]+1)²＞3c[2]²≥左边，不成立
若c[3]=1，右边≥2(c[2]+1)²＞2c[2]²+1 = 左边，也不成立
K=2时，(*)化为 2c[2]²≥m(c[2]+1)²
由于右边＞mc[2]²，所以m<2，只可能m=1
m=1时，c[1]²+c[2]²= (c[1]+1)(c[2]+1)，c[1]≥c[2]≥1
当(c[1]-1)(c[2]-1)≥3时，c[1]c[2]≥c[1]+c[2]+2
所以左边≥2c[1]c[2]，而右边 = c[1]c[2]+c[1]+c[2]+1 < 2c[1]c[2]，不成立
当(c[1]-1)(c[2]-1)≤2时，只可能c[1]≥c[2]=1或c[2]=2且c[1]=2, 3
c[2]=1时，c[1]²+1=2(c[1]+1) 无正整数解
c[2]=2，c[1]=2或3时，c[1]²+c[2]²都不等于(c[1]+1)(c[2]+1)
综上所述，假设是不成立的
也就是不存在k≥2使得存在k个正整数a[1]~a[k]满足 ∏(a[i]+1) |∑a[i]²，i=1~k

这是一个同学给我发送的标准答案。

原来如此(^～^)，没想到n≥2可以这样构造，我还想着怎么证不存在呢

答案构造的那里好像有点问题，归纳法证明的应该是[∑a[j]²+(k-i)(n-1)²]/∏(a[j]+n) = a[1]-n+1 = k(n-1)² 始终是同一个比值
最后i=k时，∑a[j]² / ∏(a[j]+n) 也应该是这个比值 k(n-1)²

感觉这样说更清楚
令b[1]= k(n-1)²，当i≥1时，b[i+1] = b[i] × (b[i]+2n-1)
当k≥1, n≥2时，由递推可知 b[i] 一直是正整数
由 b[j]+2n-1 = b[j+1]/b[j]，对1≤j≤i 累乘可得
(b[1]+2n-1)×(b[2]+2n-1)×…×(b[i]+2n-1) = b[i+1] / b[1] ①
另外由于 b[j+1] = b[j] × (b[j]+2n-1) = (b[j]+n-1)²-(n-1)²+b[j]
所以 (b[j]+n-1)²-(n-1)² = b[j+1]-b[j]
对1≤j≤i 累加可得
(b[1]+n-1)²+(b[2]+n-1)²+…+(b[i]+n-1)²-i(n-1)² = b[i+1]-b[1] ②
当i=k时，由①②可得
b[1]× ∏(b[j]+2n-1) = b[k+1]，∑(b[j]+n-1)²= b[k+1]，1≤j≤k
所以 ∑(b[j]+n-1)²= b[1]× ∏(b[j]+2n-1)，这时令a[j]= b[j]+n-1 就满足题意