绝对无限
绝对无限最初是数学家康托尔的超越超限数的无限概念。康托尔坚持绝对无限有各种数学性质,包括绝对无限的所有性质也被某些更小的对象所持有。
在对绝对无限的理解上,我们可以从两个性质入手。首先,康托尔指出,理想中的绝对无限可以看作宇宙V的基数在新基础集合论Nf中对绝对无限的体现。其次,施加幂集反而会让它从绝对无限中跌落。
不可达基数及其之上的大基数其本质都是对绝对无限在“宽度”(表现力)上的可见证的逼近和模拟,因此绝对无限自然的拥有大基数的全部性质。
关于绝对无限有两个有趣的性质:
①反射原理:Ω的所有性质必与其它超限数所共享。即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。
假设Ω具有独特的性质p,而其它无限集都不具有这个性质。则我们可用性质p对Ω做唯一地描述,这样一来,Ω就不是绝对的和不可定义的了。因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有;进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享,否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。所以假设不成立。
②不可达性:Ω不能被小于它的数构造出来。即Ω是不能从下面达到的。
推理过程与上面类似。假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来,我们便可凭此构造对Ω作出定义。这破坏了Ω的不可定义性,所以Ω不可被小于它的数构造出来。因此我们说Ω是不能从下面达到的,或说它是不可达的。
宣告这些新基数的一致的公理系统T的有限公理片段都存在可数传递模型。naive地解读,就是,如果你有一个有限的Con(T),那么你也有Con(T+Con(T+Con(T+…)))。这是绝对无限的反射原理的弱化形式。
公理系统内的有限个句子都是绝对的。这还是绝对无限的反射原理的弱化形式。任何稍强的大基数都具有反射论证性质。naive地解读,就是支持反射论证的大基数的关键点,在其下方都具有“绝对无限多个”同样性质的大基数。
绝对无限最初是数学家康托尔的超越超限数的无限概念。康托尔坚持绝对无限有各种数学性质,包括绝对无限的所有性质也被某些更小的对象所持有。
在对绝对无限的理解上,我们可以从两个性质入手。首先,康托尔指出,理想中的绝对无限可以看作宇宙V的基数在新基础集合论Nf中对绝对无限的体现。其次,施加幂集反而会让它从绝对无限中跌落。
不可达基数及其之上的大基数其本质都是对绝对无限在“宽度”(表现力)上的可见证的逼近和模拟,因此绝对无限自然的拥有大基数的全部性质。
关于绝对无限有两个有趣的性质:
①反射原理:Ω的所有性质必与其它超限数所共享。即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。
假设Ω具有独特的性质p,而其它无限集都不具有这个性质。则我们可用性质p对Ω做唯一地描述,这样一来,Ω就不是绝对的和不可定义的了。因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有;进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享,否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。所以假设不成立。
②不可达性:Ω不能被小于它的数构造出来。即Ω是不能从下面达到的。
推理过程与上面类似。假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来,我们便可凭此构造对Ω作出定义。这破坏了Ω的不可定义性,所以Ω不可被小于它的数构造出来。因此我们说Ω是不能从下面达到的,或说它是不可达的。
宣告这些新基数的一致的公理系统T的有限公理片段都存在可数传递模型。naive地解读,就是,如果你有一个有限的Con(T),那么你也有Con(T+Con(T+Con(T+…)))。这是绝对无限的反射原理的弱化形式。
公理系统内的有限个句子都是绝对的。这还是绝对无限的反射原理的弱化形式。任何稍强的大基数都具有反射论证性质。naive地解读,就是支持反射论证的大基数的关键点,在其下方都具有“绝对无限多个”同样性质的大基数。