对任意正整数n，由于1~n中的每个正整数m的唯一分解式中素因子都在p[1]~p[k]之间，幂次也都不超过a=[log₂n]
所以∏(∑1/p[i]^j) = (1+1/p₁+1/p₁²+…+1/p₁^a)×(1+1/p₂+1/p₂²+…+1/p₂^a)×…×(1+1/p[k]+1/p[k]²+…+1/p[k]^a) 的展开式中包含了1, 1/2, …, 1/n的每一项
其余项都为正，所以 ∏(∑1/p[i]^j)≥∑1/m
相乘的每一组和又都小于几何级数的无穷项和，所以∏(∑1/p[i]^j) < ∏p[i]/(p[i]-1)
因此∑1/m < ∏p[i]/(p[i]-1)，和调和级数发散矛盾了，所以素数有无穷多个
所以∏(∑1/p[i]^j) = (1+1/p₁+1/p₁²+…+1/p₁^a)×(1+1/p₂+1/p₂²+…+1/p₂^a)×…×(1+1/p[k]+1/p[k]²+…+1/p[k]^a) 的展开式中包含了1, 1/2, …, 1/n的每一项
其余项都为正，所以 ∏(∑1/p[i]^j)≥∑1/m
相乘的每一组和又都小于几何级数的无穷项和，所以∏(∑1/p[i]^j) < ∏p[i]/(p[i]-1)
因此∑1/m < ∏p[i]/(p[i]-1)，和调和级数发散矛盾了，所以素数有无穷多个
