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希帕索斯（希伯斯）：三的平方加四的平方等于五的平方，那一的平方加一的平方，等于几的平方？
毕达哥拉斯最早证明了勾股定理，当时还没有发现“无理数”，他认为世界上只存在整数和分数，除此之外不存在其他的数，整数和分数合称“成比例的数”，即整数与整数之比，整数本身可以看作是整数与一的比。
希帕索斯经过研究，发现了“新数”，不能表示为整数与整数之比，即“不成比例的数”，这个数的发现，违背了毕达哥拉斯学派的理论，引起了他们的恐慌，严禁泄露出去。最后希帕索斯因为泄露了“新数”，按规矩，他们要将希帕索斯活埋，希帕索斯逃离了希腊。后来希帕索斯在外流浪了好几年，因思念家乡，偷偷返回希腊，在地中海的船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希帕索斯，他们残忍地将他扔进地中海。
平方和最简单的莫过于1的平方加1的平方。
两数平方和的性质大家都知道，若一个数为两数平方和，则它的唯一分解式如果含有4n+3 m型素数，必须是偶次方，而2和4n+1型素数可以是任意次方。
能表示为两数平方和的数，大多数有这样的性质：
若m，s是不相等的正整数，m²+s²=c，则必有a²+b²=c²。
不妨设m＜s，设s-m=n.
则m²+(m+n)²=c
2m²+2mn+n²=c
(2m²+2mn+n²)²=c²
4m⁴+4m³n+2m²n²+4m³n+4m²n²+2mn²+2m²n²+2mn³+n⁴=c²
(4m⁴+8m³n+4m²n²)+(4m²n²+4mn³+n⁴)=c²
(2m²+2mn)²+(2mn+n²)²=c².
但对于m²+m²=2m²来说，一般是没有a²+b²=(2m²)²的，如2，8，18，32等，除非2m²可以表示为两个不同数的平方和，如50=1+49，我们有把m=1，n=6代入(2m²+2mn)²+(2mn+n²)²=c²
得14²+48²=50².
观察发现，50有4n+1型素因子。
而2，8，18，32，72等没有4n+1型素因子。

对于2c²能否作为整数直角三角形的斜边长度，要看c²能否作为斜边长度.
由a²+b²=c²，
(a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²),
(a+b)²+(a-b)²=2c².
(2a²-2b²)²+(4ab)²=(2a²+2b²)²,
(2a²-2b²)²+(4ab)²=(2c²)².

我们来看四连整数的平方和：
1²+2²+3²+4²=5²+2²+1²
2²+3²+4²+5²=7²+2²+1²
3²+4²+5²+6²=9²+2²+1²
…
通式：
a²+(a+1)²+(a+2)²+(a+3)²=(2a+3)²+5
若要使(2a+3)²+5为完全平方数，
则2a+3=2，
a=-1/2，
所以四连续整数的平方和都不是平方数。
再来看下面的四数平方和：
1²+3²+5²+7²=8²+4²+2²
2²+4²+6²+8²=10²+4²+2²，
3²+5²+7²+9²=12²+4²+2²，
…
a²+(a+2)²+(a+4)²+(a+6)²
=(2a+6)²+4²+2²,
…
一般地，
a²+(a+b)²+(a+2b)²+(a+3b)²
=(2a+3b)²+(2b)²+b²,
都没有完全平方数.

类似地，我们发现，
三连平方和、五连平方和、六连平方和、七连平方和、八连平方和、九连平方和…都不含完全平方数。
是不是所有连续平方数之和、连续等差数列的平方和都没有完全平方数？
答案是否定的，如1~24这24个数的平方和等于70的平方。

三连续平方和
(a-1)²+a²+(a+1)²
=3a²+2，
所有3连续等差数列a-b，a，a+b的平方和可以表示为
3a²+2b²，
如何证明3a²+2b²不是完全平方数？

连续四个等差数列平方和可以写成：
（a－3b）²+（a－b）²+（a+b）²+（a+3b）²=4*（a²+5b²）
a²+5b²=c²有没有整数解？

相对于完全平方数颗粒无收的三等差平方和，
有一个完全平方数颗颗饱满的三平方和：
若a+b=c，则
(ab)²+(ac)²+(bc)²=(a²+ab+b²)²

幻方中的平方和：
九宫幻方（见图中①）有两组三数平方和相等：
上边三个数的平方和2²+9²+4²=101，
下边三个数的平方和6²+1²+8²=101，
左边三个数的平方和2²+7²+6²=89，
右边三个数的平方和4²+3²+8²=89.
给每个数字都加1（见图中②），
也有两组三数平方和相等：
3²+10²+5²=7²+2²+9²,
3²+8²+7²=5²+4²+9².
对于任意等差数列的连续9个数，也可以排成两组三数平方和相等，以等差数列a=3，s=5为例（见图中③）:
8²+43²+18²=28²+3²+38²,
8²+33²+28²=18²+13²+38².
但我们始终找不到三数平方和为完全平方数的！
我们用这一组三数平方和是完全平方数的式子来组成了一种新幻方（见图中④）：
6²+18²+9²=21²，
13²+4²+16²=21²,
组成这个幻方的9个数不是等差数列，可以从小到大重排而成一个二维3×3等差矩阵（见图中⑤）.9个连续等差数列也可重排成二维3×3等差矩阵(如⑥）.

等差数列幻方中找不到三数平方和为完全平方数的行或列，扩展到等差矩阵时却可以找到。

等差数列与等差数阵的关系，等差数阵包含等差数列。
等差数阵有三个参数，a，s，t，当s=t时，等差数阵为等差数列。
最简单的等差矩数阵为2×2矩阵，a，a+s，a+s+t，a+s+t+s,
举几个例子：
当a=1,s=1,t=1时，四数为1,2,3,4,
当a=1,s=1,t=2时，四数为1,2,4,5,
当a=1,s=2,t=1时，四数为1,3,4,6.

等差数列四平方和中没有完全平方数，等差数阵却可以，如
3²+5²+11²+13²=18².

前面我们知道4连等差数列平方和、9连等差数列平方和都有完全平方数，而3连、5连、6连等没有，二平方和都可以看作2连等差数列平方和，平方数本身可以看作1连。
我们把连续几个等差数列平方和分为两类：
（1）有完全平方数解：1，2，4，9，…
（2）无完全平方数解：3，5，6，7，…

证明(a-b)²+a²+(a+b)²=c²不存在正整数解。
（1）若a-b,a,a+b三个数都是3的倍数，则可以各除以最大公约数，最后可以变成不都是3的倍数：aᴵ-bᴵ，aᴵ，aᴵ+bᴵ.
（2）若b是3的倍数，a-b，a，a+b，则三者模3同余，又可以分为二种情况：
i）与1同余，设a-b=3r+1，a=3s+1，a+b=3t+1，
(a-b)+(a+b)=2a
(3r+1)+(3t+1)=2(3s+1)
r+t=2s
(3r+1)²+(3s+1)²+(3t+1)²=9(r²+s²+t²)+6(r+s+t)+3
=9(r²+s²+t²)+18s+3
=9(r²+s²+t²+2)+3≡3(mod9),所以c不可能是整数，
ii）与2同余，同理可证.
(3)b不是3的倍数，此时，a-b，a，a+b有一个被3整除，一个模3同余为1，一个模3同余为2，所以(a-b)²+a²+(a+b)²≡2(mod3),c不可能为整数.