保距变换概念凸显中学数学几百年重大错误：将假N误为N
黄小宁
医学若将前所未知的致命病毒误为熟知的感冒病毒，后果…。“以严密、精确为生命”的数学将前所未知的数集误为熟知的数集N是致命错误。
元为数组的数组集A=｛（0，1，2），（2，3，4）｝由两组数组成，每组有三个数，但同时A也可是由6个数组成的数集A，只不过将数集中的每三个数用括号括起来罢了。数列N的每一个数都变为数组，就得一数组序列。
中学生就应熟悉非常简单易懂的保距变换概念。保距变换是点集的刚体运动，此变换的特点之一：一个点只能变为一个点。如【1】所述，一个点变为一个点是变换，一个点变为多个点也是变换，不明此理者还根本不懂数学中的变换概念。
设集A=｛x｝表A是元为x的集，相应变量x的变域是A。其余类推。A=｛x｝各元x变为两个数；x与y，就得元为x与y的数集。设集J=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表J各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V），其余类推。
h定理：点集A=B的必要条件是A≌B。
证：A=B必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换，所以B=A的必要条件是B≌A。证毕。
数集N=｛n｝可几何化为点集N，各数n是数轴上点的坐标。N各元n变为3n就使N变为元为3n的集{3n}。
如图所示“自然数点集”N各元点n“一变多”地变为三个点：3n、3n+1、3n+2组成元为3n、3n+1、3n+2的点集E={3n、3n+1、3n+2}=｛3n｝∪｛3n+1｝∪｛3n+2｝。因这是“一变多”的变换所以是不保距变换使E不≌N，据h定理E≠N。中学生都能看出E包含N一切数，包含N的E≠N说明E中有“更无理”的N外标准自然数t，但限于篇幅本文无法详谈。
数学有史5000年来一直不识“更无理”的t使自有无穷数集（列）概念几百年来数学一直有中学“常识”：E=｛0，1，2；3，4，5；…｝=N。
同样可证明相应的｛（0，1，2，3），（5，6，7，8），…｝所有数组成的集是假N；…。所以中学数学一直被“实无穷”中的假象迷惑而将无穷多各异假N误为N。
参考文献
[1]黄小宁。中学数学重大错误:将N外自然数误为N内数[J]. 当代教育实践与教学研究（电子刊）,2024(6)。
[2]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。【图片】【图片】
黄小宁
医学若将前所未知的致命病毒误为熟知的感冒病毒，后果…。“以严密、精确为生命”的数学将前所未知的数集误为熟知的数集N是致命错误。
元为数组的数组集A=｛（0，1，2），（2，3，4）｝由两组数组成，每组有三个数，但同时A也可是由6个数组成的数集A，只不过将数集中的每三个数用括号括起来罢了。数列N的每一个数都变为数组，就得一数组序列。
中学生就应熟悉非常简单易懂的保距变换概念。保距变换是点集的刚体运动，此变换的特点之一：一个点只能变为一个点。如【1】所述，一个点变为一个点是变换，一个点变为多个点也是变换，不明此理者还根本不懂数学中的变换概念。
设集A=｛x｝表A是元为x的集，相应变量x的变域是A。其余类推。A=｛x｝各元x变为两个数；x与y，就得元为x与y的数集。设集J=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表J各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V），其余类推。
h定理：点集A=B的必要条件是A≌B。
证：A=B必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换，所以B=A的必要条件是B≌A。证毕。
数集N=｛n｝可几何化为点集N，各数n是数轴上点的坐标。N各元n变为3n就使N变为元为3n的集{3n}。
如图所示“自然数点集”N各元点n“一变多”地变为三个点：3n、3n+1、3n+2组成元为3n、3n+1、3n+2的点集E={3n、3n+1、3n+2}=｛3n｝∪｛3n+1｝∪｛3n+2｝。因这是“一变多”的变换所以是不保距变换使E不≌N，据h定理E≠N。中学生都能看出E包含N一切数，包含N的E≠N说明E中有“更无理”的N外标准自然数t，但限于篇幅本文无法详谈。
数学有史5000年来一直不识“更无理”的t使自有无穷数集（列）概念几百年来数学一直有中学“常识”：E=｛0，1，2；3，4，5；…｝=N。
同样可证明相应的｛（0，1，2，3），（5，6，7，8），…｝所有数组成的集是假N；…。所以中学数学一直被“实无穷”中的假象迷惑而将无穷多各异假N误为N。
参考文献
[1]黄小宁。中学数学重大错误:将N外自然数误为N内数[J]. 当代教育实践与教学研究（电子刊）,2024(6)。
[2]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。【图片】【图片】
