为什么要提出行列式? 时代背景: 17世纪的“符号化”浪潮。 那么什么是”符号化”? “符号化”即有意识地、普遍地运用符号去概括 表述、研究数学。 “符号化”肯定是从”概括”数学开始的，但毕竟符号有限，只有具有普适规律(常用)且冗长还长得很有辨识度(一眼就能看出来这个符号表示的就是那一坨)才好用符号化概括。
然后话又说回来，莱布尼茨为什么要写下行列式？从头开始说，就是他还在研究二阶方程组的时候运用古法化简，试图从最后一个未知量开始逐个击破，从后解到前从下减到上(为14-23而不是23-14埋下伏笔)。
莱布尼茨写下行列式的直接动机然后他就发现一个问题，丢氏老方固然能解决问题，但还是太费时间和笔墨了。主播主播，有没有能一眼就能瞪出来结果的方法呢？莱布尼茨：有的兄弟有的。经过他对丢氏老方的研究， 他发现先不提X Y的解法是相当的固定：把两个方程的X的系数给通分一减消了不就只剩Y了么？剩下两个只含Y的方程，按丢氏老方来搞把X一消然后把系数一除不就完事了吗？ 这么固定且又臭又长的过程还是个二阶方程组都能用的东西不符号化就可惜了。
二阶行列式的定义：于是在1693年了莱布尼茨在给洛必达的信中写下了西方历史的第一个行列式，这个行列式的内容就跟如今的二阶行列式没啥区别了满足对角线法则。
二阶行列式和对角线法则阶段总结上述主要是说明这个二阶行列式和这个对角线法则怎么来的。
莱布尼茨关于展开较高阶行列式的尝试(克拉默法则的提出背景)然后莱布尼茨想像展开二阶方程组一样展开三阶方程组，然后发现这玩意竟然拼尽全力无法战胜(后来苏格兰数学家麦克劳林把三阶行列式展开了)。于是他就这样走下了线性代数发展史的舞台。
排列与逆序数但是莱布尼茨他夹带了点私货，毕竟是微积分和线性代数双料老祖，线性代数搞不下去之前(1666《论组合术》)，他在微积分这边搞得挺风生水起：他研究了一个叫级数的东西，为此搞出了组合和逆序数。
逆序数是怎么来的呢？就是莱布尼茨吧，他还是个哲学家，他认为所有复杂概念均可分解为有限的基本元素。通过基本元素的排列组合，可生成一切可能的复合体。于是他就系统地研究了排列与组合，然后根据元素交换的次数(逆序数)是奇还是偶定义了奇排列和偶排列，并声称行列式的每一项前的符号正负与逆序数的奇偶性有关。
(为什么这么分类：可能是因为某天莱布尼茨在对基本排列进行换换乐，两个数对换奇数次变成别的排列，对换偶数次变回基本排列，这和负负得正有点像。)他坚定地认为符号间的加减与排列的逆序数之间存在着某种联系，（就像奇偶矩阵怎么来的那样对换一次变负号，对换两次变两次负号成正。）但苦于没有证据。
N阶行列式的提出背景：20年之后，辣个严谨化的典范男人 ：柯西带着《论对称函数及其应用》登上了线性代数发展史的舞台。在这篇论文中，他直接给行列式下了定义：所有排列的符号化线性组合。“符号化”说人话就是：是奇排列的组合前添负号，是偶排列的组合不用管组合前的符号。“排列”指的是每个元素列数的排列。
柯西是怎么提出N阶行列式的定义的？(内含N阶行列式的定义)通过对二阶、三阶行列式的展开的细致观察和对莱布尼茨等前辈的研究思路的仔细研究，他发现先不提别的，光二阶和三阶的行列式的展开式就是一个模子刻出来的：项数都是Ann项，每一项的下标行部分都是123……n，每一项的下标列部分则无规律。(因为根据行列式的由来我们可以得知每一项里的所有元素都是错开的：毕竟谁家好人会把要求的那个未知量给消掉，肯定消别的未知量。正因为如此所以说每一项里头所有相乘的元素必错开。)但结合项数一看列部分应该是随机排列的。
那符号该怎么判断是正是负呢？他机敏地发现了正的项数和负的项数相等，这就有一种对称性，就有一种奇偶性的感觉。带着这样的观点去看每一项发现负的项还真有奇偶性，它的逆序数是奇的。其实这些想法都是莱布尼茨最早想出来的，只是苦于没有足够的证据(如三阶行列式的展开)。于是 N阶行列式的通用定义诞生了。
行列式的性质：为了确保自己提出的行列式的定义(行列式就是所有排列的符号化线性组合)的合理性，柯西证了一堆行列式的性质。
对于”符号化”也就是逆序数那块的，柯西指出”转置行列式的值等于转置之前的行列式的值”
为什么转置行列式的值等于转置之前的行列式的值成立(因为行列式转置了每一项的逆序数并未改变。)
”每对换一次行/列行列式就要乘一个负号”为什么成立。
(对换行/列逆序数自然而然会加一奇偶性自然而然会发生改变。)
这里还有一个推论就是两行/列元素相等则行列式为零。
两行/列元素相等则行列式为零为什么成立(一看到对换能变符号就会想到特殊化，即对换两个一样的也会变符号可值却不改变。)
然后推出来一个推论中的推论就是两行/列的元素对应成比例则可证行列式等零。
然后话又说回来，莱布尼茨为什么要写下行列式？从头开始说，就是他还在研究二阶方程组的时候运用古法化简，试图从最后一个未知量开始逐个击破，从后解到前从下减到上(为14-23而不是23-14埋下伏笔)。
莱布尼茨写下行列式的直接动机然后他就发现一个问题，丢氏老方固然能解决问题，但还是太费时间和笔墨了。主播主播，有没有能一眼就能瞪出来结果的方法呢？莱布尼茨：有的兄弟有的。经过他对丢氏老方的研究， 他发现先不提X Y的解法是相当的固定：把两个方程的X的系数给通分一减消了不就只剩Y了么？剩下两个只含Y的方程，按丢氏老方来搞把X一消然后把系数一除不就完事了吗？ 这么固定且又臭又长的过程还是个二阶方程组都能用的东西不符号化就可惜了。
二阶行列式的定义：于是在1693年了莱布尼茨在给洛必达的信中写下了西方历史的第一个行列式，这个行列式的内容就跟如今的二阶行列式没啥区别了满足对角线法则。
二阶行列式和对角线法则阶段总结上述主要是说明这个二阶行列式和这个对角线法则怎么来的。
莱布尼茨关于展开较高阶行列式的尝试(克拉默法则的提出背景)然后莱布尼茨想像展开二阶方程组一样展开三阶方程组，然后发现这玩意竟然拼尽全力无法战胜(后来苏格兰数学家麦克劳林把三阶行列式展开了)。于是他就这样走下了线性代数发展史的舞台。
排列与逆序数但是莱布尼茨他夹带了点私货，毕竟是微积分和线性代数双料老祖，线性代数搞不下去之前(1666《论组合术》)，他在微积分这边搞得挺风生水起：他研究了一个叫级数的东西，为此搞出了组合和逆序数。
逆序数是怎么来的呢？就是莱布尼茨吧，他还是个哲学家，他认为所有复杂概念均可分解为有限的基本元素。通过基本元素的排列组合，可生成一切可能的复合体。于是他就系统地研究了排列与组合，然后根据元素交换的次数(逆序数)是奇还是偶定义了奇排列和偶排列，并声称行列式的每一项前的符号正负与逆序数的奇偶性有关。
(为什么这么分类：可能是因为某天莱布尼茨在对基本排列进行换换乐，两个数对换奇数次变成别的排列，对换偶数次变回基本排列，这和负负得正有点像。)他坚定地认为符号间的加减与排列的逆序数之间存在着某种联系，（就像奇偶矩阵怎么来的那样对换一次变负号，对换两次变两次负号成正。）但苦于没有证据。
N阶行列式的提出背景：20年之后，辣个严谨化的典范男人 ：柯西带着《论对称函数及其应用》登上了线性代数发展史的舞台。在这篇论文中，他直接给行列式下了定义：所有排列的符号化线性组合。“符号化”说人话就是：是奇排列的组合前添负号，是偶排列的组合不用管组合前的符号。“排列”指的是每个元素列数的排列。
柯西是怎么提出N阶行列式的定义的？(内含N阶行列式的定义)通过对二阶、三阶行列式的展开的细致观察和对莱布尼茨等前辈的研究思路的仔细研究，他发现先不提别的，光二阶和三阶的行列式的展开式就是一个模子刻出来的：项数都是Ann项，每一项的下标行部分都是123……n，每一项的下标列部分则无规律。(因为根据行列式的由来我们可以得知每一项里的所有元素都是错开的：毕竟谁家好人会把要求的那个未知量给消掉，肯定消别的未知量。正因为如此所以说每一项里头所有相乘的元素必错开。)但结合项数一看列部分应该是随机排列的。
那符号该怎么判断是正是负呢？他机敏地发现了正的项数和负的项数相等，这就有一种对称性，就有一种奇偶性的感觉。带着这样的观点去看每一项发现负的项还真有奇偶性，它的逆序数是奇的。其实这些想法都是莱布尼茨最早想出来的，只是苦于没有足够的证据(如三阶行列式的展开)。于是 N阶行列式的通用定义诞生了。
行列式的性质：为了确保自己提出的行列式的定义(行列式就是所有排列的符号化线性组合)的合理性，柯西证了一堆行列式的性质。
对于”符号化”也就是逆序数那块的，柯西指出”转置行列式的值等于转置之前的行列式的值”
为什么转置行列式的值等于转置之前的行列式的值成立(因为行列式转置了每一项的逆序数并未改变。)
”每对换一次行/列行列式就要乘一个负号”为什么成立。
(对换行/列逆序数自然而然会加一奇偶性自然而然会发生改变。)
这里还有一个推论就是两行/列元素相等则行列式为零。
两行/列元素相等则行列式为零为什么成立(一看到对换能变符号就会想到特殊化，即对换两个一样的也会变符号可值却不改变。)
然后推出来一个推论中的推论就是两行/列的元素对应成比例则可证行列式等零。
