精简有关6点同色三角形问题

原题：有六个点，任意三个点不共线，成对的连接它们，用两种颜色染这些线段(一条线段只染一种颜色)，求证：无论怎样染，总存在
至少2个同色三角形。

原题：有六个点，任意三个点不共线，成对的连接它们，用两种颜色染这些线段(一条线段只染一种颜色)，求证：无论怎样染，总存在
至少2个同色三角形。
①6点红蓝共可连15线，共可构成20个三角形，非同色三角形有1红型(1红2蓝)设为A个和1蓝型(1蓝2红)设为B个，
②红线条数为a：蓝线条数(15-a)的比值从大到小有以下8：7，9：6，10：5，11：4，12：3，13：2，14：1化简为8：7，3：2，2：1……等。因此A：B=a：(15-a)，∵A和B为三角形的个数∴A和B的线段条数为3的倍数即a和(15-a)均为3的倍数，a：(15-a)为8：7时不符舍弃，为3：2时不符舍弃，为2：1=12：6，因此A=12，B=6，20-12-6=2个，故答案为2个同色三角形。

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①6点共可连红蓝15线，15线共可构成20个三角形，20个三角形由3×20=60条线段构成，60÷15=4重叠，即原始15线全部4重叠，不可能0个同色三角形已成共识可略。
②∵60=2²×3×5，∴20个三角形中，非同色三角形边数总和为3的倍数且为2的倍数即6的倍数，那么剩下的边数也是6的倍数即同色三角形的总边数是6的倍数，最小为6，6÷3=2，故答案：至少有2个同色三角形。

①原始红蓝的15线，红:蓝分别相差1，3，5，7，9，11，13即红8：蓝7，红9：蓝6，红10：蓝5，红11：蓝4，红12：蓝3，红13：蓝2，红14：蓝1，
②∵4重叠全部扩大到4倍有，(红32：蓝28)，(红36：蓝24)，(红40：蓝20)，(红44：蓝16)，(红48：蓝12)，(红52：蓝8)，(红56：蓝4)，红蓝线段分配一定是这7对之一
③全部线段总数为60，∵非同色三角形与同色三角形各自的总线段条数均为3的倍数，如果这2个数同为奇数，因此与②矛盾不可取，∴非同色三角形与同色三角形各自的总边数是偶数(其实②里已表明)且是3的倍数。
④检验一下，在红36：蓝24中，从蓝24中取18蓝到红36中结果红36+蓝18共54线组成18个非同，另外(24-18)=6蓝组成2个同色三角形，因此非同54线与同色6线均为6的倍数，故同色三角形边数至少为2×3=6，6÷3=2，答案：至少有2个同色三角形。

②里红蓝分配均为偶数，本题最后关键2个同色三角形共6线为偶数(注意这是前提即本题特点)，因此经过④分解后非同三角形的总边数一定是6的倍数，同色三角形的总边数也是6的倍数最小为6，

红蓝共15线无论怎样安排染色，一定不存在20个非同三角形，一定不存在19个非同三角形，但一定存在有18个非同三角形的情形。

再写详细一点：
①6点可连15线，15线可构成20个三角形，20个三角形有60线，60线为15线的4重叠
②设20个三角形中至少有n(整数)个同色三角形，3n/60≥4/60，为什么可以列这个不等式呢?原来线段总数为15，∴15是奇数(注意本题特点)，∴必有一种颜色(如红)的线段总数至少为1，那么红线是全部旳1/15此为红线占全部的最小值也可以写成4/60，另3n为同色三角形线段总条数的最小值，这个最小值占全部的3n/60，∴3n/60≥4/60，n≥4/3
③∵不等于式不是方程，数据如有变动不一定通解，再说本题15线为奇数，你用的6线是偶数与本题也不同，又本题6点问题为同色三角形个数最少的一种(起步是本题关键)，我们现在只讨论本题，不要去找所谓的通解

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①6点可连15线，可构成20个三角形，20个有60线，60线为15线的4重叠
②设20个三角形中至少有n(n为整数)个同色三角形，那么60线中，同色三角形蓝线总线条数=3n，非同三角形总线条线=(60-3n)，两者相差为60-3n-3n，60线中红线条数-蓝线条数的最大值为4×(14-1)
③60-3n-3n≤4×(14-1)，n≥4/3，n取整至少为2，故答案为至少有2个同色三角形。

①6点可连15线，可构成20个三角形，20个有60线，60线为15线的4重叠
②设20个三角形中至少有n(n为整数)个同色三角形，那么60线中，同色三角形(蓝)总线条数=3n，15线中蓝线条数至少为1(如果为0，那么15条线全为红线问题就解决了)，这1条篮线4重叠后在60线中为4条蓝线(最小值)，因此3n≥4，n≥4/3，n取整至少为2，故答案为至少有2个同色三角形。

①6点可连15线，可构成20个三角形，20个三角形有60线，60线为15线的4重叠
②15线中蓝线条数至少为1(如果为0，那么15条线全为红线问题就解决了)，这1条篮线4重叠后在60线中为4条蓝线(最小值)，因此这4条蓝线属于同色(蓝)三角形的线段，4÷3=4/3 个同色(蓝)三角形，4/3取整至少为2，故答案为至少有2个同色三角形。

再换一个角度解析，实则异途同归
①6点可连15线，可构成20个三角形，20个三角形有60线，60线为15线的4重叠
②15线中如果为全为一种颜色，问题立马解决了，因此2种颜色都存在，非同三角形在60线中≤60-1×4即≤56，非同三角形的最大值为56÷3=18(取整)，同色三角形的最小值为20-18=2，故答案为至少有2个同色三角形。

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