3.旋转及其维度
我们知道,点沿直线偏移产生线段,直线偏移产生面,面偏移产生体,直至三个维度被耗尽,无法继续变换下去,所以RS假设宇宙是三维的。注意,上述变换都只是线性变换,所以仅仅使用三个维度就足够描述了。若是旋转变换呢?
一个点环绕转一圈,形成一个圆,这个过程用一维坐标系是描述不了的,需要引入第二维;
一个圆以直径为轴旋转,形成一个球,这个过程需要引入第三维;
若一个球围绕三条正交轴旋转,形成一个超球,则需要引入第四维。这里有一门分支学科——四元数,在计算机图形学和三维旋转模型建构中有广泛的应用。
但第四维···· · · · · ··这不跟RS的三维假设矛盾了么?
回顾一下基本假设:“motion, existing in threedimensions, in discrete units(运动存在于三个维度的离散单元上)”我觉得,这句话可以理解为:在单元外,运动是线性三维的且离散的,像LED屏幕上依次点亮的像素点;而在单元内,运动是旋转三维的;位于单元外的线性三维的运动在单元内看来,只有标量量值的意义,并不影响旋转轴和旋转角度,成为了旋转模型中的第四维。
因此,描述旋转模型,我们可以用四元数<a,i,j,k>表示,其中a是实部,i,j,k是虚部。实部表示单元外的运动,ijk表示单元内的旋转。拉森的A-B-C旋转基表示法,其实就是对应四元数坐标系中的i,j,k三个基部。关于四元数的知识,不在此赘述了,大家知道可以这样表示就行了。