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集合论的另一个悖论,敢来回答吗?

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设s是某个集合,令b={x∈s|x∉x},b={x∈s|x∉x}也可以写成b={x|x∈s∧x∉x},尝试证明:
(1)b∉b;
(2)b∉s.
然后尝试回答:
(3)假设所有集合都属于s,那么b是否属于s?


IP属地:上海1楼2024-12-28 18:56回复
    欢迎各位前来


    IP属地:上海来自iPhone客户端3楼2024-12-28 19:17
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      实际上集合有一种等价的描述,而且更加本质,知道的人可能不多,b={x∈s|x∉x} ↔ ∀x(x∈b↔x∈s∧x∉x)。
      (1)利用反正法,假设b∈b,那么就可以把b看作成属于b的一个集合,b一定是满足了性质x∈s∧x∉x才能属于b,但很显然b并不满足该性质,矛盾。并且,假设b∉b是不会产生矛盾的。所以b∉b。
      (2)同样利用反证法,假设b∈s。根据(1)中我们得到的结论b∉b,我们知道b一定不满足性质x∈s∧x∉x。将我们的假设和(1)中的结论组合起来,得到b∈s∧b∉b,很显然b应该满足性质x∈s∧x∉x,矛盾,所以b∉s。这里注意,我们并没有给出s的定义,只说了s是一个集合,它只是被用于定义集合b。
      由此也可以看出来,集合b的内部一定是去除了b的。你们有没有发现集合b很眼熟,是的,用这种方法可以避免罗素悖论。
      (3)根据结论(2),有b∉s;但是根据假设,又有b∈s。所以,这显然是个悖论。b确实是不能属于b了,但只要假设所有集合都属于s,就又会产生一个新的悖论。


      IP属地:上海7楼2024-12-29 15:42
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        @贴吧用户_JRPJ2aJ965 不排除真的是书有问题。


        IP属地:上海13楼2024-12-29 22:52
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          这里给大伙解释一下,内涵公理说y不应该出现在公式p(x)中,是指在定义的时候不能出现在公式p(x)中。比如∀x(x∈b↔x∈s∧x∉x),这样写是可以的。∀x(x∈b↔x∈s∧b∉b),这样写是错误的。
          但后续我们在使用集合b的时候,比如:假设b∈b时,可以将b看作为参数代入公式中,x=b代入,也就是把x看作为一个自变量。
          内涵公理只是说s必须是已知集合。


          IP属地:上海14楼2024-12-29 23:10
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            @贴吧用户_JRPJ2aJ965 我也不跟你吵了,我就先不说你两次主动挑起骂战了,我其实已经对你很收敛了。其实我是知道你的意思的,你的意思就是认为ZF已经规定了不允许x∉x,所以只要在ZF里讨论,任何问题都不能出现x∉x。但这是个阶段性的题,就是刚好在这个阶段出现,所以在还没有引入正则公理的情况下讨论的,公理是死的,人是活的。这是在一步一步向你们展示ZF是如何发展到要规定x∉x的。你倒好,上来就给我泼一盆冷水。


            IP属地:上海15楼2024-12-29 23:14
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